Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008 2009 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2008 – 2009

Môn : Toán Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (5 điểm)

Cho biểu thức . 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A

x x x x           a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b) Rút gọn biểu thức A . Bài 2 (4 điểm)

Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 .

Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : .

2 2

1 2

2 1

3 x x x x               Bài 3 (3 điểm)

Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : . 1 1 M x y  

Bài 4 (2 điểm)

Cho phương trình : . 2 2 2 2 2 2 2

x x

x x

        a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . b) Giải phương trình . Bài 5 (6 điểm)

Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD AB BD  cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB

a) Chứng minh đồng dạng với . FDG  ECG  b) Chứng minh . E GF F 

HẾT

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN KÌ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9

NĂM HỌC 2008-2009

Giải Bài 1 (5 điểm)

Cho biểu thức . 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A

x x x x           c) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . d) Rút gọn biểu thức A . Điều kiện : 0; 4; 9 x x x   

          

  

  

     

2 9 3 2 1 5 6 2 3

2 9 3 2 1 =

2 3 3 2

2 9 3 3 2 1 2 =

3 2

2 9 9 2 4 2 =

3 2

1 2 2 1 =

3 3 2 3 2

x x x A

x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

         

        

     

 

     

 

      

    

Bài 2 (4 điểm)

Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 .

Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : .

2 2

1 2

2 1

3 x x x x               Phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . , 2 2 4 0 4(*) k k     

Khi đó ta có : Vậy : 1 2

1 2

2

4

x x k

x x

     

 

 

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2

2 2 2 2 2

2

2

2

2 3 3 3

2 3 4 8 3 2 3 4 2 3

2 3 (**) 2 3

x x x x x x x x x x x x x x

k k k

k

k

k

                                                         

  

Kết hợp (*) và (**) ta có : 2 2 4 2 k k k

    

Vậy để phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : thì :

2 2

1 2

2 1

3 x x x x               và . 2 x  2 x  Bài 3 (3 điểm)

Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .

ThuVienDeThi.com

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : . 1 1 M x y  

Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0

x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0 

(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0 

(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*) 

     

     

2 2

2

2

V x 1 – x 1 y 1 y 1 1

1 3 = 1 1 1 1 0 2 4

ì

x y y

     

            Nên (*) x + y + 2 = 0 x + y = - 2  

vì . 1 1 2 Ta c : x y ó M x y xy xy        

2 1 2 4 4 4 1 2 x y xy xy xy xy        

Vậy MaxM = -2 x = y = -1 .  Bài 4 (2 điểm)

Cho phương trình : . 2 2 2 2 2 2 2

x x

x x

        a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . b) Giải phương trình . a) điều kiện : 0 4 x   2 2 b) 2 2 2 2 2

2 2 2 (1) 2 4 2 2 4 2

x x

x x

x x

x x

       

        

Đặt = a ; = b ( a ; b 0) . 4 2 x  4 2 x  

     

    

  

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

8 Ta c :

2 2 2

8

2 8 4 2

8

4 2 4 0

8 (I) 2 4 0

a b ó a b a b

a b

a b ab a b a b ab

a b

a b ab ab

a b

a b ab

                    

          

          Vì ab + 4 > 0 nên :

  

2

2

2 2 8

2 2

2 2 2

1 3 2 2 2 2 0

1 3 (loai v a 0)

3 1 4 2 3 1 3 3 1 4 2 3 …