Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia thpt năm học 2015 - 2016 Lào Cai môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI

HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN Ngày thi: 20 – 10 - 2015 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (5,0 điểm) Giải hệ phương trình

 

   

 

2 2

3 2 6 2

11 19 11 30 6 2 2 1 0 1 , 3 3 4 0 1 2

x x y x x x y x y y y y x x

             

       

.

Câu 2 (4,0 điểm) Cho dãy số   n u được xác định bởi:

1

2 * 1

2016

4 10 27 16, n n n n

u

u u u u n 

        .

Chứng minh rằng dãy số   n u có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 3 (5,0 điểm) Cho đường tròn   w có tâm O và hai đường kính là AB, CD. Tiếp tuyến với

đường tròn   w tại B cắt AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng DE với đường

tròn   w . Chứng minh rằng ba đường thẳng AF, BC, OE đồng quy.

Câu 4 (3,0 điểm) Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn 2 2 24 1 a b  . Chứng minh rằng có một

và chỉ một trong hai số đó chia hết cho 5.

Câu 5 (3,0 điểm) Một kì thi học sinh giỏi Toán có 20 học sinh tham gia. Người ta xếp 20 học

sinh đó ngồi xung quanh một bàn tròn. Ban tổ chức có tất cả 5 loại đề thi khác nhau. Hỏi có

bao nhiêu cách phát đề cho 20 học sinh đó sao cho không có 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau có

cùng đề thi.

....................Hết....................

Ghi chú:

 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

 Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI

HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2015 – 2016

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN Ngày thi: 20 – 10 - 2015 (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang, 05 câu) I. Hướng dẫn chấm:

1. Cho điểm lẻ tới 0,25; 2. Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần, không làm tròn; 3. Chỉ cho điểm tối đa khi bài làm của thí sinh chính xác về mặt kiến thức; 4. Thí sinh giải đúng bằng cách khác cho điểm tương ứng ở các phần. II. Biểu điểm: Câu 1: (5,0 điểm) Giải hệ phương trình

  

    

2 2

3 2 6 2

11 19 11 30 6 2 2 1 0 1 1

3 3 4 0 2 1 2

x x y x x x y

y y y x x

           

       

.

Nội dung Điểm Điều kiện:   2 11 19 11 30 0; 3 1 x x y x y      

         3 3 2 2 3 3 1 1 2 y y x y x y       (3) 0,75

Xét hàm số  3 3 f t t t   trên R.  2 ' 3 3 0, f t t t     Suy ra hàm số  f t đồng biến và liên tục trên R.

0,5

Khi đó     

2 2 1 1 3 f f x y y y x y       (4). Thế (4) vào (1) ta có:

2 2 11 19 19 6 2 2 1 x x x x x       

0,75

   2 3

10 26 17 4 2 1 3 . 2

x

x x x x x

         

0,75

    2 2 3

5 2 5 3 4 2 5 3. 2 2 0

x

x x x x x x

            

0,75

2 2 3

2 5 3 2 5 3 5 4 1 0 2 2

x

x x x x x x

              

0,5

2

2

3 3 3 19 2 5 3 2 2 6 5 0 1 2

x x

x x x x x x

                     

. 0,5

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là   3 19 8 2 19 ; ; 2 9 x y        

0,5

ThuVienDeThi.com