Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường số 6 môn Toán 9

Câu I. (4,0 điểm): Cho biểu thức 3 9 3 1 1 1 2 : 1 2 1 2 x x A x x x x x

                  

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

2) Rút gọn biểu thức A.

3) Tìm giá trị của x để là số tự nhiên. 2 A

Câu II. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: 1 3 2 1 x x x   

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p2 - 2q2 = 1

Câu III. (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x+3 (d1) ; y = 3x+7 (d2)

1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I

của đoạn thẳng AB.

2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2) . Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của

tam giác đó.

Câu IV. (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây

CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.

1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC. Chứng minh rằng:

4 HM MK CD HK MC R  

3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn

cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).

Câu IV. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1. Chứng minh rằng:

2 c ab a bc b ac a b b c a c         

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – SỐ 6 NĂM HỌC: 2015-2016 Môn thi: Toán - Lớp 9

ThuVienDeThi.com

Câu Ý Lời giải Điểm 1 (0.5đ) Điều kiện: 0 1 x x

   

0.5

2 (2.0đ)   

 

       

 

2

3 9 3 1 1 1 2 : 1 2 1 2

3 2 1 1 2

1 2

1 1 1 2

1

x x A x x x x x

x x x x x

x x

x x x x

x

                  

      

       

 

1.0

0.5 0.5 I (4.0đ)

3 (1.5đ)

Với ĐK: 0 1 x x

   

Ta có:  

2 1 A x  

Vì với mọi nên  

2 1 1 A x    0 x   

2 2 0 2 1 x   

Do đó: khi hoặc  

2 2 2

1

N A x     

2 1 1 x    

2 1 2 x  

Mà nên hoặc . 1 0 x  1 1 x  1 2 x 

Do đó: x = 0 hoặc  

2 2 1 3 2 2 x    

Vậy là số tự nhiên khi x = 0 hoặc 2 A 3 2 2 x  

0.5

0.25

0.25

0.25

0.25

1 (2.0đ)

Giải phương trình: (1) 1 3 2 1 x x x    ĐK: 0 x  Đặt   3 , 1, , 0 a x b x a b    

Khi đó ta được PT: 2 2 ( )( 1) 0 b a a b a b a b         Mà a + b + 1 > 0 nên a = b.

Do đó (1)   1 3 1 3 1 / 2 x x x x x t m      

Vậy nghiệm của PT là 1 2 x 

0.25 0.25

0.5 0.25

0.5

0.25

II (4.0đ)

2 (2.0đ)

Ta có: p2 -2q2 = 1 p2 =2q2 + 1 p lẻ.   Đặt p = 2k+1 (k N*) (2k+1)2 = 2q2 + 1 q2 = 2(k2+k)    q chẵn mà q nguyên tố nên q = 2 p = 3 (thỏa mãn)   Vây cặp số nguyên tố (p;q) cần tìm là (3;2)

0.5 0.75

0.5 0.25

ĐÁP ÁN - ĐỀ SỐ 6

ThuVienDeThi.com

2a (1.5đ)

Tìm được A(0;3); B(0;7) suy ra I(0;5)

0.75 0.75 III (4.0đ)

2b (2.5đ)

Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x+3 = 3x+7

x = -2 yJ = 1 J(-2;1)    Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20

OJ2 + IJ2 = OI2 tam giác OIJ là tam giác vuông tại J  

(đvdt)  1 1 5 20 5 2 2 S       OIJ OJ IJ

0.5 0.5 0.75 0.25

0.5

M O A B O'

C'

E

C

D

K

H

IV (6.0đ)

1 (2.0đ)

 

 

Vì CD AB CM=MD

tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường

nên là hình bình hành

mà AE CD tứ giác ACED hình thoi.

0.75

0.5 0.75

ThuVienDeThi.com