Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh Quảng Ngãi 2010 Môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Ngày thi : 30/3/2010 Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy

b) Cho biểu thức với a là số tự nhiên chẵn.

3 2 a a a A = + + 24 8 12 Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên.

Bài 2 : (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6

b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 3 3 20 + 14 2 + 20 - 14 2 Bài 3 : (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 x - 2 + 6 - x = x - 8x + 24

b) Giải hệ phương trình:

1 1 9 x + y + + = x y 2 1 5 xy + = xy 2

   

Bài 4 ( 5,0 điểm)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC; < 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, Â AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M . Gọi   M B;C  I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH.

a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK. b) Chứng minh PQ // BC. c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH. Chứng   minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ).

d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằng M,N,D thẳng hàng. Bài 5 ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh :

9 AM BN CP + + OM ON OP 

----------------- HẾT-----------------

Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn : TOÁN

Bài Câu Bài giải Điểm a 2điểm

Ta có: 6 5 18 2 x y xy    2xy - 6x - 5y = 18 

2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33 2xy - 6x + 15 - 5y = 33   (y – 3)(2x – 5) = 33 = 1.33 = 3.11  Ta xét các trường hợp sau :

* 3 1 19 2 5 33 4 y x x y             

* 3 33 3 2 5 1 36 y x x y             

* 3 11 4 2 5 3 14 y x x y             

* 3 3 8 2 5 11 6 y x x y              Các cặp số nguyên dương đều thỏa mãn đẳng thức trên. Vậy các cặp số cần tìm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4)

0,75đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ

1 4điểm

b 2điểm

Vì a chẵn nên a = 2k   k N 

Do đó

3 2 3 2 8 4 2 24 8 12 3 2 6 k k k k k k A      

   3 2 1 2 1 2 3 6 6 k k k k k k      

Ta có :      k k+1 2 k k+1 2k+1 2   

Ta chứng minh : Thật vậy :    1 2 1 3 k k k   

- Nếu k = 3n (với ) thì n N     1 2 1 3 k k k    - Nếu k = 3n + 1 (với ) thì n N  2 1 3 k  - Nếu k = 3n + 2 (với ) thì n N  1 3 k  Với mọi luôn chia hết cho 2 và cho 3    1 2 1 k N k k k    

Mà (2, 3) = 1 Vậy A có giá trị nguyên.    1 2 1 6 k k k    

0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,75đ

0,25đ

a 2điểm

a) 2x3 – 9x2 + 13x – 6 = 2x3 – 2x2 – 7x2 + 7x + 6x – 6 = 2x2(x -1) – 7x(x – 1) +6(x – 1) = (x – 1)(2x2 – 7x + 6) = (x – 1)(x – 2)(2x – 3)

0,5đ 1,0đ 0,5đ 2 4điểm b 2điểm Đặt u = ; v = 3 20 14 2  3 20 14 2  Ta có x = u + v và 3 3 40 u v  

0,25đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com