Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2014 - 2015 môn Toán

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2014-2015. Môn : Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014 Bài 1. (5 điểm) Cho biểu thức:

P = ; với x > 0; x 1.  

  





  

  

  

   

  



1

1

1

1 . 1 1 1

x

x

x

x

x x x x

x x

x x

x x



1. Rút gọn P. 2. Tính P khi x = . 5 4 9 5 4 9   

3. Tìm x để P < . 2 21

Bài 2. (3 điểm)

1. Giải phương trình: .2 2 2

2

2 2

2   

   



x

x

x

x

2.Cho x, y R, x 0, y 0. Chứng minh:     

  

     x y y x x y y x 3 4 2

2

2

2

Bài 3. (3 điểm)

1.Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) sao cho 0 5 2 3 2 3      y x y x x

2. Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số thỏa mãn a+b+c= 2014

và thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2014 2014

1 1 1 1    c b a Bài 4. (5 điểm) Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H ( ). Biết AH = a; CD = 2b. H O 

a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau

b) Tính R theo a và b

c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau. Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 5. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= . 2 2 2 1

3 1 1

3 1 1

3 1

a

c c

b b

a



      

Bài 6: (2,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = BC) có đường cao BH. Trên các

cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho . Đường AM CN a , b BM BN  

thẳng MN cắt đường cao BH tại O. Tính . HO BO

Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:................................................Số báo danh...........

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO HUYỆN THIỆU HÓA

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2014-2015

Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014 Bài Nội dung Điểm

Bài 1 (5điểm)

1/ Biến đổi

P =       1 . 1

1 1 . 1

)1 (

)1 )( 1 (

)1 (

)1 )( 1 (

2 2

 

     

    

  

x x

x x

x

x

x x

x x x

x x

x x x

Ta được P = .)1 ( 2

x

x x  

2/ Tính được x = 4 Thay x = 4 tính P = 7

3/ P < và x > 0, x 1. 2 21  2 21 )1 ( 2   

x

x x 

< 0  )1 4 )( 4 (   x x

Kết luận < x < 4 và x 1. 4 1 

0.5đ 1.5đ

0,5đ 1đ

0.5

1.0đ

1. ĐK 0 < x 4  Đặt = a, = b a2 + b2 = 4. (a > 0, b > 0) x  2 x  2 

Biến đổi ta được:  .2 2 2

2 2

    b

b

a

a

 ) 2 )( ( ) 2 ( 2 ab b a ab     Vì a > 0, b > 0 2 + ab > 0  a - b = a2 - 2ab - b2 = 2 2ab = 2 ab = 1  2    Ta có :   1 2 2    x x

(TM)  3 1 4 1 4        x x x

0,25đ

0,75đ

0.25đ

0,75đ

Bài 2 (4điểm)

2/. (1) (2)  

  

     x y y x x y y x 3 4 2

2

2

2

o x y y x x y y x   

  

      3 4 2

2

2

2

Đặt a = 2        x y y x x y y x a x y y x





    2 2 a a

a2 =  2 2

2

2

2

 x

y y x

BĐT (2) trở thành a2 - 3a + 2 0 (a - 2)(a - 1) 0.(3)   

Từ a nằm trong miền nghiệm của bất phương trình (3) 



  

2 2 a a 

0,5đ

0,5đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com