Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm 2010 - 2011 môn thi Toán lớp 9 THCS

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán

Lớp: 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu I. (5,0 điểm).

1) Cho phương trình: Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 2 2 2 1 0. x m x m   

với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi m thay đổi. 1 2 , x x 1 2 2 2 1 2 1 2

2 3 2(1 ) x x P

x x x x  

  

2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn Chứng minh rằng 1 1 1. a b c  

2 2 2 A a b c   

là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: , , x y z

là số hữu tỉ. 2 2 2 1 1 1

( ) ( ) ( ) B

x y y z z x      

Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:

2 2 10. 1 1 9 x x x x                

2) Giải hệ phương trình:

2

2 3

2 3

1 1 1 4

1 4.

x x y y

x x x y y y

                    Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính A . BPE Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( ). P là điểm di động O AB  trên đoạn thẳng AB ( và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm , P A B  P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( ). N P  1) Chứng minh rằng và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. A A ANP BNP  2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.

Câu V. (4,0 điểm).

1) Cho là 45 số tự nhiên dương thoả mãn Đặt 1 2 45 , ,...., a a a 1 2 45 .... 130. a a a     Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu xuất hiện ít 1 , ( 1,2,...,44). j j j d a a j     j d nhất 10 lần.

2) Cho ba số dương thoả mãn: , , a b c 2 2 2 2 2 2 2011. a b b c c a      

Chứng minh rằng:

2 2 2 1 2011. 2 2 a b c b c c a a b       ............................................................. HẾT ........................................................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 - 2011

MÔN THI: TOÁN

LỚP: 9 THCS Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu Ý Hướng dẫn chấm Điểm Ta có nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 2 ' ( 1) 0, m m     0,5

Theo định lí viet, ta có , suy ra 1 2 1 2 2 , 2 1 x x m x x m     2 4 1 4 2 m P m

  

1,0

1) 2,5đ

khi

2

2 (2 1) 1 1. 1, 4 2 m Max P m

    

1. 2 m  1,0

Từ giả thiết suy ra 2 2 2 0 ab bc ca    0,5 2a) 1,5đ Suy ra là số hữu tỉ 2 ( ) A a b c a b c       1,0

Đặt suy ra 1 1 1 , , a b c x y y z x z      

1 1 1. a b c   0,5

Câu I

6 đ

2b) 1,0đ

Áp dụng câu 2a) suy ra là số hữu tỉ. 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B

x y y z z x      

0,5

Đk: Phương trình tương đương với 1. x 

2 2 2 2 2

2 2 2 10 2 2 10 2 0. 1 1 1 9 1 1 9 x x x x x x x x x x                        

1,0

Đặt ta được phương trình hoặc

2

2 2 , 1 x t x  

2 10 5 0 9 3 t t t     2 3 t   0,5

Với ta được (vô nghiệm) 5, 3 t 

2

2 2 5 1 3 x x  

0,5

1) 2,5đ

Với ta được suy ra 2 , 3 t 

2

2 2 2 1 3 x x  

1. 2 x  0,5

Đk: Hệ tương đương với 0. y 

2

2

3

3

1 1 4

1 1 4.

x x y y

x x x y y y

                  

0,5

Câu II

6 đ

2) 2,5đ

Đặt ta được hệ

1

,

u x y x v y

    

2 2

3 2 2 4 4 4 0 2 1. 2 4 4 2

u u v u u u v u uv u u v

                          

1,0

ThuVienDeThi.com