Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2013 2014. môn Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC: 2013 – 2014.

MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1 (4đ). Cho biểu thức: x 2 x 1 x 1 P x 1 x x 1 x x 1           a) Rút gọn P.

b) Chứng minh với và . 1 P 3  x 0  x 1 

Câu 2 (4đ).

a) Cho đường thẳng (d): . Tìm m để (d) tạo với hai trục   4 m 1 x 3my 12    tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3. Tính khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) ứng với m vừa tìm được.

b) Cho M(a; b) là một điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng . Tìm 4x 5y 7   giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 5 a 3 b  

Câu 3 (4đ). Cho . Tìm GTNN của biểu thức: 0 t 3   

2

2 4t 9 A t 3 t    Câu 4 (4đ)

a) Cho cân tại A. Trên đáy BC lấy điểm D sao cho . So sánh ABC  CD 2BD 

số đo và ABAD A 1 CAD 2 b) Từ một điểm A ở ngoài (O) dựng các tiếp tuyến AB, AC với (O). Gọi H là giao điểm của OA với BC. Trên đường trung trực của AH lấy điểm M bất kỳ sao cho M nằm ngoài (O) và dựng tiếp tuyến MF với (O). Chứng minh: . MA MF  (B, C, F là các tiếp điểm) Câu 5 (4đ)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:   x,y   2 x 7 y x 6 2y 0     

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn:   x,y 2010 2010 2010 x y 2012  

----------------------------HẾT----------------------------

ThuVienDeThi.com

Câu 1: a) Với 0; 1 x x  

  

      

  

2 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1

2 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1

x x x P x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x

x x

x x x

x x x

         

          

               

 

  



 

Vậy: P = với 1 x x x  

0; 1 x x  

b)Cách 1 xét hiệu:

 

2

1 1 3 3 1

3 1 1

1

1

x P

x x

x x x x x

x

x x

    

   

 

  

 

Vì nên: và . Do đó: . Vậy ta có điều phải 0; 1 x x    

2 1 0 x    1 0 x x   1 0 3 P  

chứng minh:

Cách 2: Ta có : P = = với 1 x x x  

1

1 1 x

x  

0; 1 x x  

Áp dụng BĐT Co – si cho 2 số dương ta có: 1 ;x

x

1 1 2 . 2 x x x x   

Vì nên dấu "=" không xảy ra 1 x 

Suy ra: . Vậy 1 1 3 x

x   1 3 P 

Câu 2:

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Xét đường thẳng (d) Vì d cắt hai hệ trục toạ độ nên m khác 0 và m khác 1

Cho x = 0 suy ra y = (m khác 0) ta được A(0; ) thuộc Oy 4 m

4 m

Cho y = 0 suy ra x = (m khác 1) ta được B( ;0) thuộc Ox 3

1 m 

3

1 m 

ThuVienDeThi.com

Khi đó: OA = ; OB = 4 m

3

1 m  Để đường thẳng d tạo với hai trục toạ độ Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 3 thì:

OA.OB = 6. tức là: giải phương trình ta được m = - 1 ; m = 2 4 3 . 6 1 m m  

Với m = -1 khi đó AB = Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng 73 2

12

73

Với m = 2 khi đó AB = Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng 13 6 13 2) Vì M (a;b) là 1 điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng 4x +5y = 7 nên ta có:

4a + 5b = 7 suy ra . Do đó 3 – b = 4k (k thuộc Z) hay   7 5 3 1 4 4 b b a b Z       

3 4 b k   từ đó ta tính được a = 5k – 2 Khi đó: 5 5 2 3 3 4 Q k k     Lập bảng xét dấu: k 2 5

3 4 5k - 2 - 0 + + 3 – 4k + + 0 -

Xét TH1: k mà k thuộc Z nên k 0. Ta có Q = (1 – 13 k) 1 2 5   

TH2: mà nên không tồn tại k 2 3 5 4 k   k Z 

TH3: mà nên . Ta có Q = (13k – 1) 12 3 4 k  k Z  1 k  

Gộp cả 3 trường hợp ta được: Q 1. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi k = 0. khi đó  M(-2;3). Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. giá trị ấy đạt được khi M(-2;3).

Câu 3: Ta có =    

2 2

2 4 9 4 9 1 . 3 3 t t A t t t t t         9 1 4 . 3 t t t t        

Tiếp đó ta dễ dàng chứng minh: . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5 9 4 12 t t        

. Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5   1 4 3 9 t t  

Suy ra . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5. Vậy GTNN của A bằng 16

3 A  16

3 Câu 4:

ThuVienDeThi.com