Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Tư Nghĩa năm học 2014 - 2015 môn thi Toán

UBND HUYỆN TƢ NGHĨA PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

Năm học: 2014 - 2015

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 11/12/2014

Bài 1: (4 điểm).

Cho biểu thức 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A

x x x x           .

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b) Rút gọn biểu thức A . c) Với giá trị nào của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (6 điểm)

a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn c b, ca+b và c2 = 2(ac +bc - ab)

Chứng minh:

2 2

2 2 ( ) ( ) a a c a c b b c b c       

b) Tìm số nguyên n để n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7 là số chính phƣơng. c) Tìm số tự nhiên k =ab có hai chữ số sao cho k + ab = (a+b)2

Bài 3: (4 điểm)

a) Gi i phƣơng trình: (x-1)(x+2) + 4(x-1) 2 12 1 x

x

   .

b) Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình: 3x +4y = 29

Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC>AB), đƣờng cao AH (H thuộc BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đƣờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chứng minh tam giác AEB là tam giác cân b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh ΔBHM ΔBEC ∽

Bài 5: (3 điểm) Cho đƣờng tròn tâm O đƣờng kính AB. Đƣờng thẳng d tiếp xúc với đƣờng tròn tại điểm M. Đƣờng thẳng MN vuông góc với AB tại N (NAB). Gọi H, K lần lƣợt là chân của đƣờng vuông góc hạ từ A và B đến đƣờng thẳng d. Chứng minh rằng: MK2 = AH.BK

..........................HẾT..............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

UBND HUYỆN TƢ NGHĨA PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện

Năm học: 2014 - 2015 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 11/12/2014

Bài Nội dung Điểm 1a (1đ)

a) ĐKXĐ: 0; 4; 9 x x x    1,0đ

1b (2đ)

b) Rút gọn biểu thức A

  

       

  

  

     

2 9 3 2 1 5 6 2 3

2 9 3 2 1 =

2 3 3 2

2 9 3 3 2 1 2 =

3 2

2 9 9 2 4 2 =

3 2

1 2 2 1 =

3 3 2 3 2

x x x A

x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

         

        

     

 

     

 

      

    

2,0đ

1c (1đ)

Ta có 1 4 1 3 3 x A

x x     

Để A nhận giá trị nguyên thì 3 x  là ƣớc của 4

Hay

3 1 1 3 16; 4( ) 3 2 2 3 25; 1 49 3 4 4 3

x x x x loai x x x x x x x

                              

1,0đ

2a (2đ)

Chứng minh:

2 2

2 2 ( ) ( ) a a c a c b b c b c       

Ta có: c2 = 2(ac +bc - ab)

c2 +2ab -2ac - 2bc = 0 a2 = a2+( c2 +2ab -2ac - 2bc) =(a2 - 2ac + c2)+2b(a-c) =(a – c)2 +2b(a-c) =(a – c)(a - c +2b)

1,0đ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

Tƣơng tự: b2 =(b – c)(b - c +2a) Do đó:

           

2 2 2

2 2 2 a – c a c 2b ( ) ( ) ( ) b – c b c 2a ( )

a – c 2a 2c 2b (c a b) b – c 2b 2c 2a

a c a a c b b c b c

a c b c

            

         

1,0đ

2b (2đ)

Tìm số nguyên n để n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7 là số chính phương. Theo đề ta có: n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7 = m2 (mZ)

 4(n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7)= 4m2 4n4 + 8n3 + 8n2 + 4n + 28 = 4m2  (2n2 + 2n + 1)2 + 27 = 4m2

(2n2 + 2n + 1)2 – (2m)2 = - 27 ( 2n2 + 2n + 1-2m)(2n2 + 2n + 1+2m) = -27

1,0đ

*Trƣờng hợp

2

2 2n 2n 1- 2m 1

2n 2n + 1 + 2m 27

       

và

2

2 2n 2n 1- 2m 27

2n 2n + 1+2m 1

       

Ta tìm đƣợc n=2 hoặc n = -3 *Trƣờng hợp khác không tìm đƣợc nZ để A là số chính phƣơng. Vậy: n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7 là số chính phƣơng khi n=2 hoặc n = -3

1,0đ

2c (2đ)

Tìm số tự nhiên k = ab có hai chữ số sao cho k + ab = (a+b)2

Ta có k =ab = 10a +b nên k + ab = (a+b)2

10a +b + ab = a2 +b2 +2ab  b2 + ab-b = 10a – a2  b2 + (a-1)b = a(10-a) Mà a(10-a) 25 do đó b2 + (a-1)b  2 5

 b2  2 5(vì (a-1)b  0 ) b= 0; 2; 3; 4; 5

1,0đ

Với b = 0 thì a(10-a) =0a = 0 (loại) hoặc a = 10 (loại) Với b = 1 thì a2 – 9a = 0 a = 0 (loại) hoặc a = 9 Với b = 2 thì a2 – 8a +2 =0 a = 4 14  (loại) Với b = 3 thì a2 – 7a +6 =0 a = 1 hoặc a = 6 Với b = 4 thì a2 – 6a +12 =0 ( vô nghiệm) Với b = 5 thì a2 – 5a +20 =0 ( …