Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2014 2015 môn thi Toán - Trường THCS Phước Thạnh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐẤT ĐỎ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG.

NĂM HỌC 2014 – 2015 TRƯỜNG THCS PHƯỚC THẠNH

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 15O phút

Bài 1: (4 điểm). 1. Chứng minh rằng 10 18 28 27, n n     A 2. a) Chứng minh rằng với mọi n > 0, ta có:

 

1 1 1

1 1 1 n n n n n n       b) Suy ra giá trị của tổng:

1 1 1 ... 2 2 3 2 2 3 2015 2014 2014 2015 S       

Bài 2: (4 điểm). 1. Giải phương trình: 2 1 1 x x  

2. Giải hệ phương trình:

4 4 8

x y xy y x

x y xy

       

Bài 3: (4 điểm).

1. Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1, tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2 1 1 1 1 x y             

2. Cho biểu thức: 1 2 3 yz x xz y xy z M xyz     

Với Chứng minh rằng: 1, 2, 3. x y z    1 1 1 1 2 2 3 M          Bài 4: (5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M chuyển động trên đường tròn ( M khác A, B). Đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn tâm M.

a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi rồi tính giá trị lớn nhất của AC . BD. c) Lấy điểm N cố định trên đường tròn (O) . Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I lên MB. Chứng minh rắng : P di chuyển trên một đường tròn cố định. Bài 5: (3 điểm). Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) . Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn (O) ( B, C thuộc (O)) . Chứng minh rằng : 2 2 . AB AC OA R  

---------------------------HẾT-------------------------

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐẤT ĐỎ

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG. NĂM HỌC 2014 – 2015 TRƯỜNG THCS PHƯỚC THẠNH

MÔN THI: TOÁN

Bài Nội dung Điểm Bài 1 (4 điểm)

1. Ta có:

1 2 2

1 2 2

10 18 27

(10 1) 18 27

9(10 10 ... 10 10 1) 18 27

9[(9 1) (9 1) ... (9 1) (9 1) 1 18 27

9.(9 ) 18n 27

81k 27n 27 27

n

n

n n

n n

n

n

n

n

k n

 

 

 

   

       

          

   

    Vậy 10 18 28 27, n n     A 2.

 

   

2 2

1 )

1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1

a

n n n n

n n

n n n n n n n n

n n

n n n n

  

  

          

      1 1 1 ) ... 2 2 3 2 2 3 2015 2014 2014 2015 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 2014 2015

1 2015 1 1

2015 2015

b S       

        

  

1

1

1

1

Bài 2 (4 điểm)

1. (1) 2 1 1 x x   ĐK: 1 0 1 x x   

ThuVienDeThi.com

  

2

2 2

1 1 (1) 1 1 0 4 4

1 1 1 0 2 2

1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2

1 1 1 0

1 1 0

1 0

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

            

                

                

    

   

  

2 2

2 2

1 1 0

1 1

1 0 1 1

0 1 2 1 0

1 0 1

0 0 1 5 2 1 1 0

x x

x x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x x

  

  

                   

    

               

Vậy phương trình có nghiệm là 1 5 0; 1; 2 x x x    

2.

4 4 8

x y xy y x

x y xy

        ĐK: x > 0, y > 0 Áp dụng BĐT côsi cho 2 số dương:

4 2 2 x y xy xy y x xy   

Theo hệ ta có: 

3 3 4 4 2 2 16(1) xy xy xy xy     

 

 

4 2 4 4

2 2 3

2 2

8 2 16 16(2)

x y xy xy

xy xy xy xy xy

  

     

Từ (1) và (2) suy ra . Khi đó hệ trở thành: 3 16 xy 

4 4

x y

y x x y

x y

         Và 2 3 3 16 4 x x    Vậy hệ có nghiệm 3 4 x y  

1

1

1

1

ThuVienDeThi.com