Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố Thanh Hóa năm học 2016 - 2017 môn Toán lớp 9

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA -------------------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn Toán : Lớp 9 (Thời gian làm bài: 150 phút)

---------------------------

Bài 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức: . Với x 0, x 1. 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x P

x x x x x

              

 

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để . 2 7 P 

c) So sánh: P2 và 2P.

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Tìm thỏa mãn: ,x y Z  2 2 2 2 1 2 y x x y x y xy      b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 . a b c a b c            Chứng minh rằng: chia hết cho 3. 3 3 3 a b c  

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

2 2 4 20 25 6 9 10 20 x x x x x        b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD

Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a b c a b c a b b c c a b c c a a b           

--------------------------------------------------- Hết---------------------------------------------------

Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Họ tên thí sinh:- -----------------------------------------------Số báo danh: -----------------------------------

Chữ ký của giám thị 1: -----------------------------------; Chữ ký của giám thị 2: ---------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2016 - 2017

Câu Ý Nội dung Điểm

a

2 đ

Điều kiện : x 0, x 1.  



  

  

3

2 1 1 : 2 1 1 1

2 1 1 : 2 1 1 1

2 ( 1) ( 1) 1 : 2 1 1

2 1 2 .

1 1 1

2

1

x x x P

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x

x x

                                 

       

  

  

   



 

0,5

0,5

0,5

0,5

b 2,0đ

Với x 0, x 1. Ta có:   2 7

2 2 7 1

1 7

6 0

( 2)( 3) 0

P

x x

x x

x x

x x



   

  

   

   

Vì nên (t/m) 3 0 x   2 0 x   4 x  

Vậy P = khi x = 4 2 7

0,5

1,0

0,25

0,25

Bài 1

5,0đ

c 1,0đ

Vì 0 1 1 x x x    

2

2

2 0 2 1 0 2 ( 2) 0

2 0

2

x x P P P

P P

P P

          

  

  Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0  Vậy P2 2P 

0.25

0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

A 2 đ

 

2 2 2

2 2 2

2

2 1 2

2 1 2 0

1 (2 ) 1

y x x y x y xy

x y y x

    

      

    

Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) =     1; 1 

+) Nếu x – 1 = 1 x = 2  Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1

y = 1 (t/m) 

hoặc y = Z (loại) 1 2 

+) Nếu x – 1 = -1 x = 0  Khi đó 2y2 - y = 1

y = 1 (t/m) 

hoặc y = Z (loại) 1 2 

Vậy 2 0 ; 1 1 x x y y          

0,5

0,25

0,5

0,5

0,25 Bài 2

4,0đ

b 2đ

a) Từ giả thiết

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) a b c a b c 1 1 1 2( ) 0 ab bc ca

    

   

Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0 

   3 3

3 3 3

3 3 3

a b c

a b c

a b 3ab(a b) c

a b c 3abc

  

  

    

    Vậy với a, b, c 3 3 3 a b c 3    Z  Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.

0,5

0,5

0,5

0,25 0,25

Bài 3

4,0đ

a 2đ

Đkxđ: x R 

2 2 4 20 25 6 9 10 20 x x x x x        Vì với 2 2 4 20 25 6 9 0 x x x x       x  10x – 20  0 2 x    Ta có:

2 2 4 20 25 6 9 10 20

2 5 3 10 20

2 5 3 10 20 7 28 4( / )

x x x x x

x x x

x x x x x t m

      

     

          Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

ThuVienDeThi.com