Đề và đáp án học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

PHÒNG GD-ĐT ĐÔNG HÀ Câu 1: (1đ)

Cho 3 số x, y, z khác không thoả mãn . 2010 1 1 1 1 2010

x y z

x y z

        Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z luôn tồn tại 2 số đối nhau.

Câu 2: (1đ) Cho n  N*. Chứng minh rằng : 1 1 3

n

n         Câu 3: (1đ) Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của xy yz zx A z x y   

Câu 4: (1đ) Chứng minh rằng : không chia hết cho 125, n N. 3 2 4 6 3 17 P n n n      Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương. 3 55 n  b) Cho a + 1 và 2a + 1 (a  N) đồng thời là hai số chính phương. Chứng minh rằng a chia hết cho 24. Câu 6: (1,5đ)Tìm nghiệm nguyên của các phương trình: a) b) 4 2 2 1 x x y   2 3 1 x y   Câu 7: (3đ) Cho tam giác đều ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC. Kẻ , , . MH BC MK AC MI AB    a) Chứng minh rằng: MH + MK + MI = h ( h là chiều cao của tam giác ABC). b) Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’, B’, C’.

Chứng minh rằng: . ' ' ' 3 ' ' ' MA MB MC OA OB OC   

---------------Hết----------------

ĐÁP ÁN

Câu 1: Từ 2010 1 1 1 1 2010

x y z

x y z

       

1 1 1 1 1 1 1 1 0 x y z x y z x y z x y z                         

  0 ( ) ( ) 0 ( ) x y x y x y z x y z xy xy z x y z                  2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 x y zx zy z xy x y z x z y x z            

0 ( )( )( ) 0 0 0

x y x y x y y z z x y z y z z x z x

                          Vậy trong 3 số x, y, z luôn tồn tại 2 số đối nhau. Câu 2 :

ThuVienDeThi.com

 Với n = 1, ta có : (đúng)

1 1 1 2 3 1           Với n  2, ta có :

2 3 1 1 ( 1) 1 ( 1)( 3) 1 ( 1)( 2)...2.1 1 1 1 . . . .... . 2! 3! !

n

n n n n n n n n n n n n n n n n                 

1 1 1 1 1 ... 2! 3! ! n          

Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 2! 3! ! 1.2 2.3 ( 1) n n n n          

Vậy (đpcm) 1 1 3

n

n         Câu 3:

Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên 0, 0, 0 xy yz zx z x y   

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

(1) 2 . 2 xy yz xy yz y z x z x   

(2) 2 . 2 yz zx yz zx z x y x y   

(3) 2 . 2 zx xy zx xy x y z y z   

Từ (1), (2), (3)  (vì x + y + z = 1) 2 2( ) 2 xy yz zx x y z z x y              2A  2  A  1

Vậy Min A = 1  1 3 xy yz zx x y z z x y      

Câu 4: Giả sử tồn tại n  N sao cho 125  P 5 3 2 4 6 3 17 P n n n       

3 2 3 2 2(4 6 3 17) (2 1) 35 5 P n n n n          k lẻ 3 (2 1) 5 2 1 5 2 1 5 , n n n k k N          Đặt k = 2m + 1, m  N ta có : 2n = 5(2m + 1) – 1  n = 5m + 2 Khi đó :

3 2 3 2 4(5 2) 6(5 2) 3(5 2) 17 125(4 6 3 ) 45 P m m m m m m            không chia hết cho 125, trái với điều giả sử. Vậy không chia hết cho 125, với mọi n N. 3 2 4 6 3 17 P n n n      Câu 5: a) Đặt , với a  N (1) 2 3 55 n a  

ThuVienDeThi.com

Từ (1)  a chẵn   (2) 2 0(mod 4) a  3 1(mod 4) n 

Mặt khác: (3) 3 1(mod 4) 3 ( 1) (mod 4) n n    Từ (2) và (3)  n chẵn  n = 2m, (m  N) pt (1) (*) 2 2 (3 ) 55 ( 3 )( 3 ) 55 m m m a a a       

Vì nên từ (*)  0 3 3 m m a a    

3 11 3 5 1 3 3

3 3 27 3 55 3 1

m

m m

m m

m

a

a m m a

a

                             Với m = 1  n = 2 

2 2 3 55 3 55 64 8 n       Với m = 3  n = 6 

6 2 3 55 3 55 784 28 n      Vậy thì là số chính phương.   2;6 n 3 55 n 

b) Đặt a + 1 = k2, 2a + 1 = m2 , (k, m  N) Vì 2a + 1 lẻ nên m2 lẻ  m lẻ  m = 2t + 1, (t  N)  2a + 1 = (2t + 1)2  a = 2t(t + 1) là số chẵn

 a + 1 lẻ  k2 lẻ  k lẻ  k = 2n + 1, (n  N) Do đó từ a + 1 = k2  a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1) 8 (1)  Mặt khác: k2 + m2 = a + 1 + 2a + 1 = 3a + 2 2(mod3) 

hay (2) 2 2 2 2 1(mod3) 0(mod3) k m m k a        3 a Từ (1) và (2)  , (vì (3; 8) = 1) (3.8) a Vậy a chia hết cho 24. Câu 6: a) (1) 4 2 2 1 x x y  

Ta có  2 0 x x   2 2 4 2 2 2 ( ) 1 ( 1) x x x x    

Do đó từ (1)  (*) …