Đề Toán lớp 9 luyện học sinh giỏi

ĐỀ SỐ 1 – HSG( THI LHP)

Câu I: (4,0 điểm) Cho biểu thức    1 2 1 2 . 1 1 1 2 1

x x x x x x x x x A x x x x

                   1. Rút gọn biểu thức A

2. Tìm để x 1 7 A 

Câu II: (4điểm)

1. Giải phương trình 2 2

3 2 0. 2 5 2 x x x x x x       

2. Giải hệ phương trình

2 2 2 2

2 2 2

( )(1 ) 4

x y x y

x y xy x y

        Câu III: (4điểm) 1. Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: . 2 2 5(x xy y ) 7(x 2y)     2. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn :

2 1. 1 pq m p q m

   

Câu IV: (6điểm)

Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. 3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.

Câu V: (2điểm)

Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị , , a b c 2 2 2 6. a b a b c b a b a                

nhỏ nhất của biểu thức 4 . (2 ) (2 ) ( ) bc ca ab P a b c b a c c a b      

------------------ Hết------------------

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 – HSG( THI LHP)

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM

I

Điều kiện: 1 0; ; 1 4 x x x   

Đặt , ta có: ; 0 x a a   2 x a  

   2 2 3 2

2 3

1 2 1 2 . 1 1 1 2 1

a a a a a a a a A a a a

                

0,5

     

     

  

2 1 2 1 1 2 1 1 1 . 1 1 1 2 1 1 1

a a a a a a a a A a a a a a a

                      

   

   

  1 1 2

1 1 . 1 1 2 1

1 2

2  

  

 



 

  

  a

a a a a a

a a a a A

0,5

  

  

2

1 1 1 .(2 1). 1 1 2 1 1

a a a a A a a a a a

                 

0,5

1

. Vậy: . 1 1

2  

  a a A

1 1

 

 

x x A 0,5

7 1

1

1 7 1

1

1        

 

x x x x A

(do ) 7 1     x x 0 4 3 2 1 1

2

            x x x

0,5

    6 0 3 2 0 3 0 x x x x x          

0 9 x  

0,5 0,5

2

Đối chiếu với điều kiện ta được:

0 9 1 , 1 4

x

x x

    

0,5

II

1

ĐKXĐ:

2

2

1 2 0 2 5 2 0

5 33 2

x x x x x x

x

                    

0,25

Nhận thấy không là nghiệm của phương trình. 0 x  0,25

Khi thì 0 x 

Phương trình đã cho 1 3 2 0. 2 2 1 5 x x x x

      

0,25

Đặt , ta được phương trình biểu thị theo t là 2 t x x   1 3 2 1 5 t t    

0,25

ThuVienDeThi.com

2 5 6 0 2; 3 t t t t        0,25

Với (thỏa mãn) 2 2 2 2 2 2 0 1 3 t x x x x x          

0,25

Với (thỏa mãn) 2 2 3 17 3 3 3 2 0 2 t x x x x x

          

0,25

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 3 17 1 3; . 2 S             

0,25

2

Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình 0,5

Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại   Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với  

2 2 2 2 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 1 2 ( )(1 ) 4 ( )(2 ) 8

x y x y

x y xy x y xy

                        

0,5

Thay (1) vào (2) ta được 3 1 1 ( ) 8 x y   0,5

1 1 2

1 1 1

x y x y

xy

            Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)

0,25

0,25

1

Ta có: (1) 2 2 5( ) 7( 2 ) x xy y x y    

. Đặt (2) thì 7( 2 ) 5 x y   ( 2 ) 5 x y   2 5 x y t   ( ) t Z 

(1) trở thành (3). 2 2 7 x xy y t    0,5

Từ (2) thay vào (3) ta được (*), coi đây là  5 2 x t y   2 2 3 15 25 7 0 y ty t t    

PT bậc hai đối với y có:

2 84 75 t t   0,5

Để (*) có nghiệm 2 0 84 75 0 t t     28 0 25 t  

Vì hoặc . Thay vào (*) : 0 t Z t   1 t 

0,5

+ Với 0 t  1 0 y   1 0 x  

+ Với 1 t 

2 2

3 3

3 1

2 1

y x

y …