Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011 - 2012 đề thi môn Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————— ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

———————————— Câu 1 (3,0 điểm).

1. Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 

3

2 1 3 3 x f x x x  

1 2 2010 2011 ... 2012 2012 2012 2012 A f f f f                             

2. Cho biểu thức 2 2 1 1 2 2 1 x x x x x P

x x x x x x x x            Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên. x Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn .   ; x y     3 2 6 x y x y    

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: , , , a b c d

2012 abc bcd cda dab a b c d       

Chứng minh rằng: .      2 2 2 2 1 1 1 1 2012 a b c d     

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho ba đường tròn và (kí hiệu chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử   1 2 , O O  O  X

tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xúc trong với tại   1 2 , O O   1 2 , O O  O

. Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt đường tròn lần lượt tại các điểm 1 2 , M M  1 O  O

. Đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm , đường thẳng cắt lại đường , ' A A 1 AM  1 O 1 N 2 AM

tròn tại điểm .   2 O 2 N

1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và đường thẳng vuông góc với đường 1 1 2 2 M N N M OA

thẳng . 1 2 N N

2. Kẻ đường kính của đường tròn sao cho vuông góc với (điểm nằm trên PQ  O PQ AI P

cung không chứa điểm ). Chứng minh rằng nếu không song song thì các A

1 AM 2 M 1 2 , PM QM

đường thẳng và đồng quy. 1 , AI PM 2 QM

Câu 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.

—Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

II. ĐÁP ÁN:

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 1,5 điểm

Nhận xét. Nếu thì . 1 x y    1 f x f y  

Thật vậy, ta có          

3 3

3 3 3 3

1 1 1 1

x x f x f y f x x x x x

         

0,5

suy ra .       

   

3 3

3 3 3 3

1 1 1 1 1

x x f x f y f x f x

x x x x

           

Vậy, nhận xét được chứng minh. Ta có . 1 1 2 2 f      

0,5

Theo nhận xét trên ta có:

1 2011 2 2010 ... 2012 2012 2012 2012

1005 1007 1006 1 1005 1005,5 2012 2012 2012 2

A f f f f

f f f f

                                                                            

0,5

2 1,5 điểm Điều kiện: . Khi đó ta có 0, 1 x x  

Rút gọn biểu thức ta được 2

1 x P

x x  

 

0,5

Ta có , ta coi đây là phương trình bậc hai của .   1 2 0 Px P x P      x

Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình 0 2 0 P x     0 P  x

trên có     2 1 4 2 0 P P P     

 

2 2 2 4 4 3 6 1 0 2 1 1 3 3 P P P P P         

0,5

1

Do P nguyên nên bằng 0 hoặc 1  

2 1 P 

+) Nếu không thỏa mãn.  

2 1 0 1 1 P P x     

+) Nếu không thỏa mãn  

2 2 1 1 2 2 0 0 0

P P P x x x P

              Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

0,5

1,5 điểm 2

Nếu phương trình vô nghiệm. Do đó 6 ( 6) 1 x y x y x y         6 x y   2 6 3 x y y x x         {1;2} x   0,5

ThuVienDeThi.com