Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2016 - 2017 môn Toán

1

PHÒNG GD-ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2016-2017

MÔN : TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút không kể giao đề )

Bài 1: (4.0 điểm)

a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có số A = n2 + 3n + 5 không chia hết cho 121. b. Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 4n + 59 là số chính phương. c. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 4x + 4y + 10 = 5xy. Bài 2 : ( 5.0 điểm )

Cho biểu thức

2 2 2 2 1 1 a a a a a P

a a a a          a. Tìm điều kiện của a để biểu thức P có nghĩa rồi rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

c. Tìm các giá trị của a để biểu thức nhận giá trị là số nguyên. 2 . M a P 

Bài 3. ( 3.0 điểm )

Giải phương trình :

a) 3 2 3 8 2( 3 2) x x x     b) 6 3 2 2 6 x x x      Bài 4: ( 2.0 điểm )

Cho ba số dương x, y, z thõa mãn x + y + z = 3.

Chứng minh rằng: 2 2 2

3 1 1 1 2 x y z y z x       Bài 5 : ( 6.0 điểm )

Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Trên cạnh BC lấy điểm E, đường thẳng AE cắt đường thẳng CD tại điểm M. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a) Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 AE AM a  

b) Trên tia đối của CB lấy điểm G sao cho CG = CM. Chứng minh tam giác BOE đồng dạng với tam giác BGD.

c) Cho . Trên tia CM lấy điểm F sao cho , gọi H là giao điểm của BF 3 a BE  2 a CF 

và AM. Chứng minh 3 . . CH HE HC HM 

HẾT Lưu ý : Học sinh bảng B không phải làm câu 4. Họ và tên thí sinh: …………………………. Số báo danh: ……………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com