Đề thi chọn học sinh dự thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2010 2011 môn thi Toán 9

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

Môn thi : Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: a) Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n (n+1)(n+2). Chứng minh rằng là số tự nhiên 4 1 A b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 4 2 2 4 y y x x     Câu 2: a) Giải phương trình sau: 2 2 17 17 9 x x x x      b) Giải hệ phương trình:

2 2

2

3

1 0

x xy y

z yz

        Câu 3: a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

. 2 2 2

3 1 1 1 2 a b c b c a       b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 100 10 10 10 M x x   

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn (M; R) tiếp xúc với AB ở P, tiếp xúc với AC ở Q. Điểm K chạy trên cung nhỏ PQ (K khác P, Q). Tiếp tuyến của đường tròn (M; R) tại K cắt AB, AC lần lượt tại E, F.

a. Chứng minh góc BME bằng góc MFC. b. Xác định vị trí của điểm K sao cho diện tích tứ giác BEFC nhỏ nhất.

Câu 5: Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:

3 2 IA IB IC IM IN IK   

-------------------Hết---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010-2011- MÔN TOÁN 9

Câu Nội dung Điểm

Ta cã: n(n + 1)(n + 2) = n (n + 1)(n + 2). 4= n(n + 1)(n + 2). 1 4

1 4   ( 3) ( 1) n n    0.5

= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - n(n + 1)(n + 2)(n - 1) 1 4

1 4

0.5

4A =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . +n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - n(n + 1)(n + 2)(n - 1) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

1.0 a 2,5đ

4A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

= (       2 2 2 2 2 2 2 3 )( 3 2) 1 3 2 3 1 3 1 n n n n n n n n n n          

Vậy là số tự nhiên. 4 1 A

0.5

4 2 2 4 2 4 4 ( 1) y y x x y y x x          Vì 4y2+2>0 nên (y4 + y2 + 4) -4 < y4 + y2+4<( y4 + y2+4) + (4y2 +2)

0.5

2 2 4 2 2 2 ( 1) 4 ( 2)( 3) y y y y y y         0.5 Hay y2 (y2 +1)<x(x-1)< (y2 +2)(y2 +3) Do đ ó x (x-1) = (y2+1)(y2+2)

0.5

Câu 1 4,5đ

b 2.0đ

Suy ra (y2+1)(y2+2)= y4+y2+4 2y2=2   1 y  x2 – x - 6=0 x=-2 hoặc x=3   Nghiệm là (-2;1); (3;1); (-2;-1); (3;-1)

0.5

ĐK: . 17 17 x    Đặt   2 17 0 y x y   

0.5

Ta có hệ PT  

2 2 2 2 2 17 17 2 17 9 9 9

x y x y x y xy x y xy x y xy x y xy

                            

1.0

   2 2

16

7 9 2 17 20 64 0

4 9 9

5

xy x y xy

xy x y xy x y xy

x y

                                        

0.5 a 2,5đ

Giải các hệ trên ta có nghiệm của phương trình là x = 1; x = 4 0.5

 

 

2

2 2 2

2 2

2

3 4 (1) 3 2 4

1 0 1 4 (2) 2 4

y x y x xy y

z yz y z y

                               

0.75

Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu thì phương trình 2 y  2 y  (2) vô nghiệm. Do đó hệ chỉ có nghiệm khi 2 y 

0.75

Câu 2 4,5đ

b 2,0đ

Suy ra nghiệm của hệ là x = 1, y = 2, z = 1 và x = -1, y = -2, z = -1. 0.5

Câu 3 (4đ)

a 2.0đ 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 3 1 1 1 2 1 1 1 2 a b c a b c a b c b c a b c a                       

0.5

ThuVienDeThi.com