Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

PHÒNG GD&DT YÊN THÀNH

đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán - Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1. (2®)

Cho biểu thức:

A= x

x

x

x

x x

x



  

   



3

1 2

2

3

6 5

9 2

a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Bài 2. (2®)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B = + 2

x 2 2 1 x x  

Bài 3. (2®)

Giải phương trình: 2 2 2

8 4 4 x x x    

Bài 4. (3®)

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC, O là giao điểm của các đường trung trực ABC; G và E tương ứng là trọng tâm các  ABC và ACD. Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I. Chứng minh:  

a, GH HI AD DO 

b, ADG ~ DOE Từ đó suy ra OE CD    Bài 5. (1®)

Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì diện tích tam giác đó bé hơn 0,67.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm toán 9

C©u Néi dung §iÓm

1 a, Điều kiện : 0; 4; 9 x x x   

          

  

  

     

2 9 3 2 1 5 6 2 3

2 9 3 2 1 =

2 3 3 2

2 9 3 3 2 1 2 =

3 2

2 9 9 2 4 2 =

3 2

1 2 2 1 =

3 3 2 3 2

x x x A

x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

         

        

     

 

     

 

      

    

b, A nguyên nguyên Ư(4) 3

4 1

  

x 3

4

 

x

3   x 

* = 1 3  x 16  x * = -1 (loại) 3  x 4  x * = 2 3  x 25  x * = -2 3  x 1  x * =4 3  x 49  x * =- 4 : Không có x 3  x Vậy x {1;16;25;49} 

ThuVienDeThi.com

2 + ĐK: 1- x- 2x2 0 (x+1)(1-2x) 0 - 1 x   2 1

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và (1- x- 2x2) . Ta có:

2

2 1 1 2 1.(1 2 ) 2

x x x x     

Hay

2 2 2 2 1 2 2 x x x x     

2 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x        

Dấu bằng xẩy ra 2 1 1 B x   

2 1 1 2 0 0

x x x x

       Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi x = 0

3

(1) 2 2 2

8 4 4 x x x    

ĐK: 0 4 2   x 2 2 2  x (2)  0 8 2  x 2 2 2     x

(1) 

2

2 2 2 2 2 2 2 2

8 4

) 2 4 ( 8 4

4 4 4 4 8 4

4 4 x x x x x x x x                

(*) ) 4 ( 2 6 4 2 14 4 8 2

2 4 2 2 2 2 2 2

x x x x x x              

Đặt (*) trở thành: ) 0 ( 4 2    t t x 0 ) 2 )( 3 2 ( 0 6 2 2 6 2 2           t t t t t t

(thoả mãn 2)  2 5 4 25 4 9 4 2 3 2 2          x x x t

(loại) 2   t

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: 2 5   x

   

ThuVienDeThi.com

4

a, GHI ~ ADO   GH HI AD DO  

b, ; mà DE = = GH AD HI DO   2 3 DF 2 2 3 HC HI 

GH = 1

2 AG

GH AG AD HI DE DO  

Mặt khác góc DAG bằng góc ODE Suy ra ADG ~ DOE   Góc AGD bằng góc DAO suy ra OE CD 

A

B C H

D F

G

I

O

E

ThuVienDeThi.com

Ghi chó: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa

5 - Ký hiệu: + Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng là ma, mb , mc và ha , hb , hc + Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c + Diện tích tam giác ABC là S - Ta có 2S < a.ha = b.hb = c.hc (1) có aha < ama < a (2) vì ma < 1 Tương tự: bhb < b (3); chc < c (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5)

mà a < (mb + mc) < (vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ hơn 1) 2 3

2 2 4 3 3 3  

Tương tự b < , c < . 4 3

4 3 Vậy từ (5) suy ra S < 0,666... hay S < 0,67

ThuVienDeThi.com