Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2014 - 2015 môn thi Toán lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ

ĐÀO TẠO THẠCH HÀ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 29/ 10 / 2014

Bài 1. a) Rút gọn các biểu thức sau: . 3 3 3 3 A

2 3 2 2 2 3 2 2

- + = + - + + -

b) So sánh và 2 2 2015 1 2014 1  

2 2 2.2014

2015 1 2014 1  

Bài 2. a) Tìm hai số x, y thỏa mãn

2 2

3 3 2

6 2

        

x y xy

x y x y

b) Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.

Bài 3. a) Giải phương trình:

2014 2016 ( 2014) ( 2015) 1 x x    

b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: 3 2 4 10 M x x    

Bài 4. Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB tại D và cắt AC tại E (D A). P là điểm bất kỳ trên cạnh BC 

a) Chứng minh PBD

ABC

S PB.DB S AB.BC 

b) Chứng minh rằng diện tích không lớn hơn diện tích . PDE  1 4 ABC 

c) Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích đạt giá trị lớn nhất. PDE 

Bài 5. Cho x, y thỏa mãn 2 2 ( 2014 )( 2014 ) 2014 x x y y     

Tính giá trị của biểu thức 2015 2015   S x y

-----------HẾT------------

Họ và tên thí sinh:.....................................................Số báo danh:...........

Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính.

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015

Môn : TOÁN - LỚP 9

Bài Nội dung a)

. 3 3 3 3

2 3 2 2 2 3 2 2 A - + = + - + + -

2( 3 3) 2( 3 3)

4 2 3 4 4 2 3 4

- + = + - + + -

2( 3 3) 2( 3 3) 3 1 4 3 1 4 - + = + - + + -

24 2 4 2 6 = = - - b)

Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 ( 2015 1 2014 1)( 2015 1 2014 1) 2015 1 2014 1

2015 1 2014 1

     

 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 (2015 1) (2014 1) 2015 2014 (2015 2014)(2015 2014)

2015 1 2014 1 2015 1 2014 1 2015 1 2014 1

              

2 2 2 2 2015 2014 2.2014

2015 1 2014 1 2015 1 2014 1

      

Bài 1

Vậy > 2 2 2015 1 2014 1  

2 2 2.2014

2015 1 2014 1  

Ta có

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 2 2 2 2 2

6 2 2 6 ( )( + - ) =2( 3 )

                                 

x y xy x y xy x y xy

x y x y x y x y x y x y xy x y

2 2 2 = 3

      

x y xy x y x y

2 2 2 2 =0 =0

            

x y xy x y y

b)

Bài 2

Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c)  bc = 5+b+c.  bc -b - c + 1 = 6  (b-1)(c-1) = 6. b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:

và   



    

 

 

7

2

6 1

1 1

c

b

c

b

  



    

 

 

4

3

3 1

2 1

c

b

c

b

Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7 a)

Bài 3 Ta có: 2014 2016 (x 2014) (x 2015) 1     

1007 1008 x 2014 x 2015 1    

Kiểm tra ta thấy x = 2014 và x = 2015 là các nghiệm của phương trình.

ThuVienDeThi.com

+ Nếu x > 2015 thì x – 2014 > 1 nên x 2014 1   

1007 x 2014 1   

Chứng tỏ pt không có nghiệm thỏa mãn x > 2015 1007 1008 x 2014 x 2015 1    

+ Nếu x < 2014 thì x – 2015 < -1 nên x 2015 1  

2008 x 2015 1   

Chứng tỏ pt không có nghiệm thỏa mãn x < 2014 2007 2008 x 2014 x 2015 1    

+ Nếu 2014 < x < 2015 thì: nên 0 x 2014 1 1 x 2015 0        

1007

1008 x 2014 x 2014 x 2014

x 2015 x 2015 2015 x

      

     

Chứng tỏ 2014 < x < 2015 không thỏa mãn p trình. 

1007 1008 x 2014 x 2015 1    

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 2014 và x = 2015 b)

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: x x M     10 4 2 3 Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10

Đặt N= x x    10 2

N2 = 8 + 2 ≥ 8 (vì 2 ≥0) ) 10 )( 2 ( x x   ) 10 )( 2 ( x x  

Nên N2 ≥ đẳng thức xẩy ra x = 2 hoặc x = 10. 8  Do đó: M ≥ 3N + ≥ 3N ≥ đẳng thức xẩy ra x = 10. x  10 2 6  Vậy GTNN của M = 2 6

6,0đ

Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta có: M ≤ 2 10 ) 10 2 ( 25     x x

Đẳng thức xẩy ra x =  122

25 Vậy GTLN của M = 2 10 a)

Ta có AH = AB. sinB với A o B 90 

(1) ABC

BC.AH AB.BC.sin B S 2 2  

Tương tự …