Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2012- 2013 môn Toán lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN THÀNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012- 2013

Môn : Toán – Lớp 9. (Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1. Cho biểu thức:

2x 1 x x 4 P . x x x 1 x x 1 x 2

                      a, Rút gọn biểu thức P. b, Tìm các giá trị của x để . P 4 x 0  

Câu 2.

Giải các phương trình sau:

a, x 5 1 x 2   

b,

2 2 4 8 20 3 2 x x x x     

Câu 3.

a, Chứng minh rằng với < 1, < 1 thì a b 1 a b ab   

b, Cho các số thực a, b, c > 0 thoả mãn

2 2 2 5 3 a b c   

Chứng minh rằng : 1 1 1 1 a b c abc   

Câu 4.

Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, AB và CD là hai đường kính bất kỳ của (O). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt các đường thẳng BC, BD lần lượt tại M và N. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và AN, H là trực tâm của tam giác BPQ.

a) Chứng minh tam giác APH và ABQ đồng dạng.

b) Chứng minh AH = . 2 R

Câu 5.

Cho điểm M nằm trong góc nhọn xOy. Hai điểm A và B lần lượt thay đổi trên Ox và Oy sao cho 2.OA = 3.OB. Tìm vị trí của A, B sao cho 2.MA + 3.MB đạt giá trị nhỏ nhất.

--------------------Hết-------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9

năm học 2012 - 2013 - mÔN TOÁN

Câu Ý Nội dung B. Điểm

a 3.0

Điều kiện xác định: x 0; x 4  

Rút gọn 2x 1 x x 4 P . x x x 1 x x 1 x 2

                          

  

    2x 1 x x 1 x 2 x 2 x x 1 . x . x x 2 x 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1

                             1 x 1 x 2 x 2 x 1

    

1.0

1.0

1.0

1 5.0

b 2.0

Ta có  

x 4 x 4 P 4 x 0 x 4 x 2 4 x 0 x 2

                    Kết hợp với điều kiện ta có là các giá trị cần tìm. 0 x 4  

1.5

0.5

a 2.0

ĐKXĐ 2 x  Phương trình : x 5 1 x 2    5 1 2 2 2 x x x       6 2 2 x   

2 3

2 9

x

x

  

   thoả mãn 11 x  

0.5

1.0

0.5 2 4.0

b 2.0

ĐK: - 3 < x < 1.Ta có: 2 2 2 4 8 20 4( 2 1) 16 4( 1) 16 4 x x x x x          

Mặt khác, VP = 3 - 2x - x2 = 4 - (x + 1)2 4 

Từ đó để VT = VP khi và chỉ khi hai vế cùng bằng 4 dấu bằng xảy ra khi x = -1.

0.75

0.75

0.5

a 2.0

Để chứng minh ta cần chứng minh (a + b)2 < (1 + ab)2 1 a b ab   

Xét hiệu (1 + ab)2 - (a + b)2 = 1 + 2ab + a2b2 - a2 - 2ab - b2 = (1 - a2)(1 - b2) Do < 1, < 1 nên (1 - a2)(1 - b2) > 0 a b

Vậy (a + b)2 < (1 + ab)2 hay 1 a b ab   

0.5 0.5 0.5 0.5

3 4.0

b 2.0

Từ ( a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac 0 

Nên ac + bc – ab = < 1( Vì ) 

2 2 2

2 a b c   5 6

2 2 2 5 3 a b c   

Chia cả hai vế cho abc > 0 ta được : 1 1 1 1 a b c abc   

0.5

1.0

0.5

4 Hình vẽ

ThuVienDeThi.com

H

Q

P

N

M

D

A O B

C

a 2.0

Tam giác APH đồng dạng với tam giác ABQ vì và : : 1 PAH BAQ v   : : APH ABQ 

( cùng phụ với ) :PQB 2.0

5.0

b 3.0

Chứng minh AH = 2

R

Từ câu a) suy ra: AH AP AQ AB 

2

. . 2 2

. 2 4 4 4 4 2

AN AM AP AQ AH AB AM AN AB R R AB

  

    

1.0

1.0

1.0

5 2.0

x

O

y

M

z

B

A

N

ThuVienDeThi.com