Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2011 2012 môn Toán 9

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN YÊN THÀNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012

Môn: Toán 9 – Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2,5 điểm)

Cho biểu thức: A = + 9

3 x

x





27 3 x x

x

 

a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Với a 0, b 0. Chứng minh rằng a + b     2 2 2 a b  

b) Cho x, y, z là 3 số dương và không đồng thời bằng nhau. Chứng minh rằng :

Nếu thì 1 1 1 x y z y z x      1 xyz 

Câu 3: (2,0 điểm) Giải các phương trình

a) 1 4 1 x x   

b) x - 2x + 4 = 2 2 2 1 x 

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A bằng 900. Vẽ đường phân giác AD, đường cao AH.

a) Tính BH, CH khi BD = 75 cm, DC = 100 cm.

b) Gọi M là trung điểm của AC, trên đoạn BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E.

* Chứng minh BNE BAN.  : 

* Khi tam giác ABC vuông cân tại A. Chứng minh 1 NC NB AN AB  

------------------Hết-----------------

Người coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9

năm học 2011 – 2012 - mÔN TOÁN

Câu Ý Nội dung B. Điểm

a (1.5đ)

TX§:   0, 9 x x  

A = + ( 3)( 3) 3 x x x   

( 3)( 3 9) 3 x x x x     = x - 2 + 12 x

0,25

0,5

0.25 1 B ( 1.0đ)

A = ( + 11 11 2 ( 1) x  

GTNN A = 11 khi x = 1 ( thỏa mãn)

0,5 0,5

Với a 0, b 0 ta có a + b     2 2 2 a b  

    2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2 2

0 2 2 2

0 2

a b a b

a ab b a b

a b a ab b

a ab b

   

    

     

    ( Đúng )  

2 0 a b   

0.25

0.25

0.25

a (1.0đ)

Dấu bằng xảy ra khi a = b

VËy Víi a 0, b 0 ta cã a + b     2 2 2 a b   0.25

V× x, y, z là 3 số dương và x y; x z; z y.    0.25

Từ giả thiết suy ra :

; ; y z x y

yz

   z x y z

zx    x y z x

xy

   0.25

Nhân vÕ với vÕ ba BĐT nay ta được :

( )( )( ) ( )( )( ) y z y z z x x y y z z x xyz        0.25

2

b (1.0đ)

V× . Suy ra : xyz = 1 ( )( )( ) 0 x y y z z x     0.25

ĐK: : ta có: (1) 1 4 x   1 1 4 x x    0.25

Bình phương hai vế của pt(1) ta đưa về được: (2) 4 2 x x    0.25

ĐK : . Bình phương hai vế của pt (2): 2 x  2 3 0 x x   0.25

a (1.0đ)

Nghiệm của phương trình x = 3 0.25 3

b ( x - 4x + 4) + ( 2x – 1 - 2 + 1) = 0 2 2 1 x  0.25

ThuVienDeThi.com

( x – 2) + ( - 1) = 0  2 2 1 x  2 0.25

x = 2 và x = 1  0.25

(1.0đ)

Phương trình vô nghiệm 0.25

Vẽ hình đúng

0.25

Đặt AB = c, AC = b, BC = a, BH = c’ , CH = b’. Ta có:

b2 = a.c’ , c2 = a.b’ . (1)

2 '

' b b c c        

0.25

Mặt khác theo tính chất đường phân giác thì

(2) 100 4 75 3 b DC c DB    0.5

a (1.5đ)

Thay (2) vào (1) ta có

2 ' ' ' ' '

'

4 16 175 7 3 9 16 9 25 25 b b c b c c

              Suy ra b’ = 112, c’ = 63 Vậy CH = 112 cm, BH = 63 cm

0.5

ANC vuông tại N (trung tuyến bằng nữa cạnh đối diện)  Nên : : 0 90 CNM MNA   : : 0 90 BAN NAC   : : MNA NAC 

0.5

, Mà : : CNM BAN   : : CNM BNE  : : BNE BAN  Vậy BNE BAN (ĐPCM)  :  0.5

Trên tia đối MN lấy điểm F sao cho FM = MN. Khi đó tứ giác ANCF là hình chữ nhật CE//AF, FN = AC  0.25

: : : AFB ENB BAN   0.25

BAN BFA  :   FA BF AN BA  0.25

4

b (2.0đ)

vì FN = AC = AB (đpcm)  1 NC FN NB AB NB NB AN AB AB AB       0.25

(Các cách khác đúng vẩn cho điểm tối đa, bài hình không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm bài hình).

N

A

B C

F

D H

M

E

ThuVienDeThi.com