Đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2007 - 2008 môn Toán

Đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2007-2008

Môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút) -------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1: (3 điểm)

Cho P =

2 2 2( 1) 1 1 x x x x x x x x x         a/ Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P. b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c/ Tìm giá trị nguyên của biểu thức Q = 2 x

P Câu 2: (2 điểm) Giải các phương trình: a/ 12 18 8 27 x x    b/ 2 2 3 2 3 2 2 3 x x x x x x         

Câu 3: (2 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. a/ Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 2 thì a2 + b2 + c2 + 2abc < 2. b/ Chứng minh: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc. 

Câu 4: (2 điểm) Cho ABC, M là trung điểm của BC, tia phân giác của góc AMB cắt  cạnh AB ë E, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ë D. a/ Chứng minh AED và ABC đồng dạng.   b/ Tính ME2 + MD2 biết MC = 8cm, . 3 5 DC

AD 

Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực dương a và b thoả mãn: a100+ b100 = a101+ b101 = a102+ b102 Hãy tìm giá trị của biểu thức: P = a2007+ b2007

Phòng GD & ĐT Yên Thành.

ThuVienDeThi.com

hướng dẫn chấm toán 9

Câu 1 (3 ®) ĐKXĐ: x > 0 , x≠ 1 0,25

P = ( 1)( 1) 2 1 2( 1) 1 x x x x x x x x         0,5 a

P = x- 1 x  0,25

P = ( )2 + ≥ 1 2 x  3 4

3 4 0,5 b

Min P = khi x = 3 4

1 4 0,5

Q = 2 2 1 1 M x

x

   0,25

Với x > 0 và x ≠ 1. áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có:

M = 1 1 1 0 2 x Q x     0,5 c

Do đó Q 1 Z Q    0,25 Câu 2 (2®)

a

 12 8 27 18 x x   

 27 18 12 8 x  



0,5

    

3 3 2 3 2 2 3 2 x

    0,5

ĐK: x ≥ 2 0,25

 1. 2 3 2 1. 3 x x x x x x          0,25

   1 1 2 3 0 x x x      0,25 b

x = 2 (Thoả mãn ĐK)  0,25 Câu 3 (2®) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và a + b + c = 2 nên: a < 1, b < 1, c < 1 0,25

(1- a)(1- b)(1- c) > 0 0,25 a ab + bc + ca - abc > 1 

(a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2 + 2abc) > 2 

a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 

0,5

b

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:

    ( )( ) . a b c b c a b a c b a c              

= (1)  

2 2 2 b a c b b    

0,5

ThuVienDeThi.com

Tương tự:

(2)    b c a c a b c    

(3)    c a b a b c a      0,25

Nhân từng vÕ của (1) (2) (3) ta có đpcm 0,25 Câu 4 (2®)

Vì MD là phân giác của AMC nên: 

(1) CD MC AD MA 

Vì ME là phân giác của AMB nên: 

(2) BE MB AE MA 

0,5

a

Do MB = MC nên từ (1) và (2) ta có: CD BE AD AE 

ED // BC   AED ABC   : 0,5

3 8 8 5 5 5 DC DC AD AC hay AD AD AD      0,25

AED ABC   :  8 5 BC AC ED AD  

ED =  5. 10( ) 8 BC cm 

0,5 b

EMD vuông tại M ME2 + MD2 = ED2 = 100 (cm)   0,25 Câu 5 (1®)

a102 + b102 = ( a101 + b101)( a + b) – ab(a100+ b100) 0,5

Từ gt và đẳng thức trên suy ra: 1 = a + b – ab hay (a -1)( b -1) = 0 0,25

( a ; b) = ( 1 ; 1) 

P = 2  0,25

ThuVienDeThi.com