Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2011 2012 môn thi Toán 9

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2011 – 2012

Môn thi : Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (2điểm) a) Cho x, y thoả mãn 2 2 ( 2011 )( 2011 ) 2011 x x y y      Tính giá trị của biểu thức A = x2011 + y2011 b) Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. Câu 2. (2 điểm) a) Giải phương trình:

2 2 4 4 3 x x x x       b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + x2 + 1 = y2 Câu 3. (2 điểm) a) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng:

5 4 3 6 1 2 3 b c c a a b a b c            Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?

b) Cho ba số dương a,b,c thoã mãn: 1 1 1 2 1 1 1 a b c       Tìm giá trị lớn nhất của M = abc Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC.

a) Chứng minh: EA.EB + FA.FC = MB.MC b) Chứng minh: . . 4 . AB AF AC AE AE AF   c) Đặt . Hãy xác định vị trí của điểm M trên BC để tứ giác AEMF ABC S S  có diện tích lớn nhất ,tìm giá trị lớn nhất đó theo S. Câu 5. (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD với AC > BD. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD. Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2

------------------- Hết ---------------- Người coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Đề thi chọn học sinh dự thi HSG tỉnh năm học 2011 – 2012

Môn thi: Toán 9

Câu Nội dung Điểm

Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 ( 2011 )( 2011 ) 2011 2011

( 2011 )( 2011 ) 2011 2011

x x x x x x

y y y y y y

       

       

0.5

Kết hợp với giả thiết suy ra

2 2

2 2 2011 2011

2011 2011

y y x x

x x y y

     

     

0.25 a 1.0đ

Cộng theo từng vế của 2 đẳng thức trên ta có y + x = -x – y suy ra x + y = 0 Do đó A= x2011 + y2011 = x2011 + (-x)2011 = 0

0.25

Gọi số chính phương đó là . Vì vừa là số chính phương vừa abcd abcd

là một lập phương nên đặt = x2 = y3 với x, y N abcd 

0.25

Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương. 0.25

Câu 1 2.0đ

b 1.0đ Ta có : 1000 9999 10 y 21 và y chính phương abcd    

y = 16 = 4096  abcd

0.5

Đặt t = 2 2 2

2 4 4 ( 0) 4

4 x x t t x x

x x        

 

0.5

Phương trình đã cho trở thành:

3 2 2

2

4 3 3 4 0

( 1)( 2) 0 1( 2 0)

t t t t

t t t t

    

      

0.25

a 1.0đ Với t = 1:

2 2

2

2 2

4 1 4 1

1 1 4

2 1 4

5 ( / ) 2

x x x x

x x x

x x x

x t m

     

         

 

0.25

vì x2 với mọi x nên: 0  ( x4 + x2 + 1) –( x2 + 1 ) < x4 + x2 + 1 ( x4 + x2 + 1) + x2 

0.25

2 2 2 2 2 ( ) ( 1) x y x     do đó y2 =(x2+1)2

0.25

Suy ra (x2+1)2 = x4 + x2 + 1

Suy ra y = 1 2 0 0 x x     

0.25

Câu 2 2.0đ

b 1.0đ

Nghiệm nguyên (x; y) cần tìm là (0;1); (0:-1)

ThuVienDeThi.com

Câu Nội dung Điểm 5 4 3 1 1 1 3 12( ) 1 2 3 1 2 3 b c c a a b p p a b c a b c                   

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số thực dương ta có:

3 1 1 1 36 36 3 12 9 1 2 3 1 2 3 (1 )(2 )(3 )

3

p a b c a b c a b c                       

Suy ra P 6 

0.25

Câu 3 (2đ)

a 1.0đ

Dấu đẳng thức xảy ra 1 2 3 3, 2, 1 6

a b c a b c a b c

              

0.25

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) b c bc a b c b c b c                          

0.5

Tương tự:

1 1 2 , 2 1 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) ac ab b a c c a b        

0.25

b 1.0đ

Từ đó suy ra M = abc maxM = khi a = b = c = 1/2 1 8   1 8

0.25

EA.EB + FA.FC = MB.MC 

. . 1 . . EA EB FA FC MB MC MB MC   0.5

a 1.0đ 2 2 . . sin os FM EB ME FC C c c MC MB MB MC     

0.5

b 1.0đ

. . 4 . AB AF AC AE AE AF  

4

1 1 4 2

2

AB AC AE AF EB FC EB FC AE AF AE AF MB MC MC MB

  

     

  

0.25

0.5

0.25

Câu 4 (3.0đ)

AEMF là hình chữ nhật

A B

C

M

E

F

ThuVienDeThi.com