Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2015-2016 môn thi Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1. (6,0 điểm)

1. Cho biểu thức: x x 26 x 19 2 x x 3 P

x 2 x 3 x 1 x 3          

a. Rút gọn P b. Tính P khi x = 3 3 3 12 5 3 12 5    c. Tìm GTNN của P 2. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 2n n (7.5 12.6 ) 19   Câu 2. (4,0 điểm)

a. Giải phương trình sau: 4x 1 3x 1 2 x 3

   

b. Giải hệ phương trình:    

2 2 2

2 2 x xy y 19 x y (*) x xy y 7 x y

          

Câu 3. (3,0 điểm) a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 19x5 + 5y +1995z = x2 –x +3

b. Cho a, b, c  0 và 1 1 1 2 a 1 b 1 c 1       . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P xyz  Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính bất kì AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn EA và AF. a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. b. Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và

3

3 BE CE BF DF 

d. Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp ( K  EF; M BE và N  BF ) sao cho cạnh của hình vuông tỉ lệ với bán kính của đường tròn nội

tiếp tam giác BEF theo tỉ số2 2 2  thì các góc của tam giác là bao nhiêu?

Câu 5. (1,0 điểm) Tìm cặp số (x; y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 5y2 + 2y – 3xy – 3 = 0.

-------------------------------- Hết-------------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

Bài 1: (6,0 điểm)

1. a ) Rút gọn

3 x 16 x P

   2đ

b) Tính x=1  đkxđ . Suy ra p= 4

17 1đ

c) Pmin=4 khi x=4 . 1đ 2. =7.25n + 19.6n – 7.6n 1đ =7.19.(.....) + 19.6n  19 1đ Bài 3: (3,0 điểm)

1. 20x5 –(x5-x)+5y+1995z=x2+3 0,5đ

20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+1995z=x2+3 0,5đ Ta thấy VT5 con VP không chia hết cho 5 nên pt vô nghiệm 0,5đ

ThuVienDeThi.com