Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2016 - 2017

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS Năm học 2016-2017

Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016 Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm)

Cho biểu thức: P = 1 3 2

x +1 x x +1 x - x +1  

a) Rút gọn P. b) Chứng minh P 0. 

Bài 2: (2 điểm)

Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n Z. 

Bài 3: (4 điểm)

Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1 a) Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . 1 1 1+ 1+ x y    

      

Bài 4: (3 điểm)

Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0

Bài 5: (2 điểm)

Tìm tất cả các số có 5 chữ số sao cho abcde

3 abcde ab 

Bài 6: (5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M là trung điểm của cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau.

a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA b) Tính số đo góc . AHOG

----------------- HẾT-------------------

Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

a) ĐKXĐ: x 0 

P = 1 3 2

x +1 x x +1 x - x +1  

=   

1 3 2

x +1 x - x +1 x +1 x - x +1  

=        

x - x +1 3 2 x +1 x + x

x +1 x - x +1 x +1 x - x +1





= x

x - x +1

0,25

0,5

1,0

0,75

Bài 1 (4đ)

b) x 0 

1 x - x 

2 1 3 3 = 2 4 4 x         

P= x

x - x +1

0 

0,5

0,5

0,5

Bài 2 (2đ)

P= n3 - n = n(n2 -1) = n(n+1)(n-1) Ta có n(n+1) 2 => P 2   n(n+1)(n-1) 3=> P 3   Mà (2,3) = 1 => P 6 

0,5 0,5 0,5 0,5

a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15 = x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15 = x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15 = (x +y)2 + 2000(x + y) + 15 = 12 + 2000.1+15 = 2016

0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 3 (4đ)

b) P = = 1 + = 1 + 1 1 1+ 1+ x y    

      

1 1 1 + + y x xy

x + y 1 + xy xy

= 1 + = 1 + 1 1 + xy xy

2 xy Ta có: x + y 1 2 xy  2 xy   1 xy 4 

 1 4 xy 

P = 1 + 1+ 2.4=9 2 xy 

Vậy GTNN của P là 9  x = y = 1

2

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

Bài 4 (3đ)

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0 (x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 = 0  (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = 0 Đặt t = x2 + 5x + 4 ta được phương trình: t(t + 2) - 24 = 0  t2 + 2t - 24 = 0  t2 - 4t + 6t - 24 = 0  t(t - 4) + 6(t - 4) = 0  (t - 4)(t + 6) = 0  t = 4 hoặc t = -6 Với t = 4 ta được x2 + 5x + 4 = 4  x = 0; x = -5 Với t = -6 ta được x2 + 5x + 4 = -6  x2 + 5x + 10 = 0

 (x + 2

5 )2 + 4

15 = 0. Pt vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 hoặc x = -5

0,25 0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

0,25

Bài 5 (2đ)

Đặt x = , y = ta có = 1000x + y ab cde abcde với 10 x < 100, 0 y < 1000 (1)   Ta có: x3 = 1000x + y (2) Từ (1),(2)=> 1000x x3 < 1000x+1000 

=> 1000 x2 < 1000+ <1100  1000

x => 31< x<33 Vậy x = 32 và x3 = 32768

0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,25

H

M

O

B

D

A

C

G

a) ADH và GBM có:

= (=900) AADH AGBM = ( cặp góc có cạnh tương ứng song song) AAHD AGMB => ADH GBM (g-g)

=> DH AD = BM GB => DH.GB = BM.DA

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

Bài 6 (5đ)

b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a)

MBO vuông cân tại M => BM = BO. 2 2 ADO vuông cân tại O => AD = DO. 2

DH.GB = BM.DA = BO. . DO. =BO.DO 2 2 2

0,25

0,25

0,5

ThuVienDeThi.com