Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 - 2017

UBND QUẬN LÊ CHÂN TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017 Thời gian làm bài 120 phút (Đề gồm 6 câu 1 trang, không tính thời gian giao đề)

Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức 2x 2 x x x 1 A x 1 x 1 x x 1

         a/ Tìm x để A có nghĩa và rút gọn A. b/ Tìm giá trị của x sao cho A = 2

Bài 2 (2 điểm).

a/ Cho a và b là 2 số dương. Chứng minh rằng .  1 1 a b 4 a b          b/ Với x, y là hai số dương và x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức . 2 2 1 1 P 4xy xy x y    

Bài 3 (2 điểm):

a/ Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 S 1 1 ....................... 1 2 3 3 4 99 100          

b/ Chứng minh rằng

3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2

   

   

Bài 4(1, 5 điểm).

Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 7cm và Tính A A 0 ABC 30 ,C nhän.  cạnh và các góc còn lại của tam giác.

Bài 5(1,5 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao CK; H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho . Gọi S, S1, S2 theo thứ tự là A 0 AMB 90  diện tích các tam giác AMB, ABC và ABH. Chứng minh rằng . 1 2 S S .S 

Bài 6 (1, 0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại C , đường cao CH (H thuộc AB). A A   A B 

Trên cạnh AB lấy điểm O sao cho Kẻ OD  AC. Biết OD = OB. 1 OB OA. 3 

Chứng minh rằng AB = 9HB.

----------Hết---------

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 9

(đáp án gồm 6 câu, 4 trang) Bài Đáp án Điểm a/ 1 điểm

A có nghĩa khi

x 0

x 0 x 1 0 x 1 x x 1 0

 

          

    2 x x 1 x 1 x x 1 A x 1 x 2 x x 1 1 x x 2 x 1 x x 1

               

0,5

0,5

b/ 1 điểm

Bài 1 (2 điểm)

 

 

A 2 x x 2 2 x x 0 x x 1 0

x 0

x 1 Kh«ngTM ĐK

          

  

Vậy với x = 0 thì A = 2

0,5

0,5

a/ 1 điểm Vì a, b > 0 nên theo BĐT CôSi ta có:

 

1 1 2 và a + b 2 ab a b ab 1 1 a + b 4. Dấu = xảy ra khi a =b a b

  

        

0,5

0,5

b/ 1 điểm Bài 2: (2 điểm)  

2 2 2 2 2 1 1 1 5 4 5 P 4xy 2 4 2 5 11 x y 2xy 4xy 4xy x y 2xy x y

                           

Dấu = xảy ra khi  

2 2

2 x y 2xy

4xy x y 1 a b a b 1 2 1 4ab 4ab

   

            Vậy min P = 11 khi a = b = 1/2

0,5

0,25

0,25 a/ 1 điểm

Bài 3 (2 điểm)  

 

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 Trước hết ta CMR với a, b, c N* và a + b + c = 0 thì a b c a b c

2 a b c 1 1 1 1 1 1 ThËt vËy: cã a b c a b c abc

1 1 1 1 1 1 1 1 1 v× a + b + c = 0 . VËy a b c a b c a b c

     

             

       

Do đó S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ....... 1 98 98,49 2 3 3 4 99 100 2 100                               

0,5

ThuVienDeThi.com

0,5 b/ 1 điểm Biến đổi VT =

   

   

   

   

2 2

2 2

3 3 1 1 2 3 2 3 2 2 3 3 2 4 2 3 2 4 2 3 1 1 1 1 2 2

2 3 2 3 2 3 2 3

3 3 3 3 2 3 1 2 3 1

3 1 3 1 4 2 3 4 2 3

2. 3 3 2. 3 3 2 3 3 1 2 3 3 1

3 1 3 1 1 2 3 2 3

              

             

            

    

0,5

0,5

7 8

30

H C B

A

Kẻ AH  BC (H thuộc BC), Xét ABH vuông tại H có AH = AB . sin B = 8 . sin300 = 4(cm) HB = AB . cosB = 8 . cos 300 = 4 (cm) 3 0,5 Trong tam giác vuông ACH ta có +/ HC = (cm) 2 2 2 2 AC AH 7 4 33     Do đó BC = BH + HC = 4 + = 12,673cm 3 33

0,5

+ Sin C = A 0 4 C 35 7   0,25

Bài 4

(1, 5 điểm)

+ có A 0 0 0 0 CAB 180 30 35 115     0,25

D

H

M

K B

C

A

Tam giác AMB vuông tại M, MK  AB nên MK2 = AK . BK (1) AHK  CBK (vì có do cùng phụ với ) A A A A 0 AKH CKB 90 ;KAH KCB    AABC

0,25

Suy ra (2) AK HK AK.KB CK.KH CK BK    0,25

Từ (1) và (2) suy ra MK2 = CK . HK nên . MK CK.HK  0,25

Bài 5

(1, 5 điểm)

. AMB 1 2 1 1 1 1 S AB.MK AB CK.HK AB.CK. AB.HK S .S 2 2 2 2     0,75

ThuVienDeThi.com