Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9

Năm học 2008 - 2009

Thời gian: 120 phút

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau

P = 2009 2 2008 2009 2 2008   

Q =    2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009

2005.2007.2010.2011

  

Bài 2: Biết . Chứng minh rằng:

2 2 10a 3b ab 0 b a 0

      

2a b 5b a 9 3a b 3a b 5      

Bài 3: Chứng minh rằng với  < 450, ta có sin2 = 2sin. cos.

Bài 4: Cho tam giác ABC có (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ · 0 ABC = 60 ; BC = a; AB = c nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ë trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.

a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. b/ Dùng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó

Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2 19b - a 19c - b 19a - c + + 3(a + b + c) ab +5b cb +5c ac +5a 

---------------------- Hết -----------------

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9

Năm học 2008 - 2009

Thời gian: 120 phút

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau

P = 2009 2 2008 2009 2 2008   

Q =    2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009

2005.2007.2010.2011

  

Bài 2: Biết . Chứng minh rằng:

2 2 10a 3b ab 0 b a 0

      

2a b 5b a 9 3a b 3a b 5      

Bài 3: Chứng minh rằng với  < 450, ta có sin2 = 2sin. cos.

Bài 4: Cho tam giác ABC có (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ · 0 ABC = 60 ; BC = a; AB = c nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ë trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.

a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. b/ Dùng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó

Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2 19b - a 19c - b 19a - c + + 3(a + b + c) ab +5b cb +5c ac +5a 

---------------------- Hết -----------------

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau

P = = = 2 2009 2 2008 2009 2 2008       

2 2 2008 1 2008 1   

Q = . Đặt x = 2008, khi đó    2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009

2005.2007.2010.2011

  

Q = = = x + 1 = 2009         

2 2 x x 6 x 2x 3 x 1

x 3 x 1 x 2 x 3

    

   

          

x 2 x 3 x 3 x 1 x 1

x 3 x 1 x 2 x 3

    

   

Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 0  3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0

 (2a - b)(5a + 3b) = 0  2a - b = 0 b = 2a 5a +3b = 0 5a = -3b        (loai)

Với b = 2a  2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a 9 3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a 5             

Bài 3: Xét ABC có 900; = . Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH  àA  àC  ãAMH 2 

Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = . a 2

Ta có sin = ; cos = ; sin2 = c a

b a

h m

Do đó 2sin. cos = = sin2 2 2 c b 2bc 2ah 2h h 2 . a a a a a m    

Bài 4:

a/ Đặt . AM = x (0 < x < c)

Ta có: MN AM ax = MN = BC AB c 

.   0 c- x 3 MQ = BM.sin60 = 2 Suy ra diện tích của MNPQ là:

    ax c- x 3 a 3 S = = x c- x 2c 2c

+ Ta có bất đẳng thức:

2 a + b a + b ab ab (a > 0,b > 0) 2 2        

áp dụng, ta có: . Dấu đẳng thức xảy ra khi: .

2 2 x + c- x c x(c- x) = 2 4      

c x = c- x x = 2 

Suy ra: . Vậy: khi hay M là trung điểm của cạnh .

2 a 3 c ac 3 S = 2c 4 8  max

ac 3 S = 8

c x = 2 AB

b/ Giả sử đã dùng được hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F’. Dùng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' AB;G',H' BC)  

Ta có: E'F'// EF và F'G'// FG, nên: E'F' BE' BF' F'G' = = = EF BE BF FG . Do đó E'F'G'H' là hình vuông E'F' = F'G' 

A

B C H M



A

B C

M N

P Q

0 60

x

ThuVienDeThi.com