Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013 2014 môn thi Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2013 – 2014

Môn thi: Toán Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Bài 1( 6điểm)

1. Cho biểu thức: P = :   y x

xy y x



   

  

      xy

y x

x xy

y

y xy

x

a. Tìm ĐKXĐ của P và rút gọn P b. Tính giá trị của P với x = ; y = 3 4 8  3 4 8  2. a) Tính giá trị biểu thức:

A =

100 99 99 100

1 .... 3 2 2 3

1

2 1 1 2

1

     

b) So sánh B = với 100 99

1 .... 4 3

1

2 1

1

      7 2

Bài 2( 3 điểm)

a) Chứng minh rằng:

m = - là nghiệm của phương trình x3 + 3x - 4 =0 3 2 5  3 2 5  b) Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 Chứng minh là số tự nhiên. 1  ab Bài 3: ( 4 điểm)

a) Tìm các số nguyên x,y sao cho : 3x2 + 4y2 = 6x +13 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

A = với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1 y zx x yz z xy  

Bài 4: ( 5 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B,C ). Trên AQ lấy điểm P (P khác A,Q ). Hai đường thẳng qua P song song với AC ,AB lần lượt cắt AB,AC tại M,N

a) Chứng minh rằng: 1    AQ PQ AC AN AB AM

b) Xác định vị trí điểm Q để 27

1 . .

. .  AQ AC AB

PQ AN AM

Bài 5: (2 điểm) Cho x + y + z = x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = 1 Tính giá trị của x2009 + y2011 + z2013

Hết .

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9

Năm học 2013 – 2014

Môn thi: Toán

Bài Nội dung Điểm Bài 1 (6 đ)

1.a) ĐKXĐ: x>0; y>0 ; x y 

P= : )  





  

y x

xy y xy x

) (

) )( ( ) ( ) (

x y xy

x y y x x y y y x y x x



     

= … x y  b) Tính được x = ; y = 2)1 3 ( 2  2)1 3 ( 2  Thay x, y vào biểu thức p tính được P = )1 3 ( 2 )1 .3 ( 2    = 2 2

2. Chứng minh được

1

1 1

1 ) 1(

1

      k k k k k k a) Áp dụng công thức trên thay k lần lượt từ 1 đến 99 ta được

A = = 1- 100

1

99

1 ... 3

1

2

1

2

1

1

1       10

9 10

1 

b) Ta có 7 2 6 2 3 1

2 1

1 2 4 1 2 1         

Từ đó ta có B > 7

2

, 0,5 đ

0,5 đ 1,5đ 0,25đ

0,25đ

0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ

0,75 0,25đ

Bài 2 (3đ)

a) Tính được m3 = 4 – 3m Suy ra m3 + 3m - 4 =0 Kết luận b) Ta có a = 11…1 ; 2008 chữ số 1 b = 100…05 = 100…00 + 5 = 102008 +5 = (9a+1) +5 =9a+6 2007 chữ số 0 2008chữ số 0 ab +1 = a( 9a +6) +1= ( 3a+1 )2

Nên = 3a +1 1  ab

Vì a N nên 3a +1 N (Đpcm)  

1,0đ 0,25đ 0,25đ ,

0,5đ 0,5đ

0,5 đ

Bài 3 ( 4đ)

a) Biến đổi 3x2 + 4y2 = 6x +13 3(x-1)2 = 16 – 4y2 = 4(4 – y2 )  Vì VT 0 nên VP 0 suy ra (4 – y2 ) 0    …..Suy ra y   2 1; 0; ;-1; 2 -

0,5đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com

Thay lần lượt các giá trị của y ta tìm được các cặp nghiệm sau: (x,y)   ); 1;1 ( ); 1;3 ( ); 2,1( ); 1 ;1 ( ); 1 ,3 ( ); 2 ;1(     

b)A = nênA2 = ( vì x2+y2+z2 =1) y zx x yz z xy   2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

   y

x z x

z y z

y x

= B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

2y x z

z y y x x

z y z

y x   

Tương tự 2 2

2 2

2

2 2

2z y

x z x

z y  

2 2

2 2

2

2 2

2x y

x z z

y x  

Cộng vế với vế ta được 2B 2  1  B Do đó A2 = B +2 3 nên A   3

Vậy Min A = x=y=z= 3  3

3

1,0đ

0,5đ

1,0đ

0,5đ

Bài 4 (5 đ)

a) Gọi H = PN BC, I = MP BC   A

M N

P

B H Q I C

Ta có = 1 (1) AC NC AC AN 

Mặt khác áp dụng định lí Ta let ,ta có :

(2) BC

IH BC

CI BC

IH CI BC CH AC NC     

MI AC nên (3) AB AM BC

CI 

Vì ABC đông dạng với PHI (g,g)  

mà (4) AB PH BC

IH   AQ PQ AB PH 

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra

= ….= (đpcm) AC NC AC AN  1    AQ PQ AC AN AB AM

b)Từ câu a ta có:

27

1 . .

. . . .

. . . .

. .    BC BC BC

IH BH CI BC AC BC

IH AN CI AQ AC AB

PQ AN AM

CI.BH.IH =  27

3 BC

Mặt khác áp dụng Cô si cho 3 số không âm ta có:

0,5đ

0,25đ

1,0đ

1.0đ

0,5đ 0,25đ

ThuVienDeThi.com