Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 2017 môn Toán

Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG NAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 – 2017

Môn Toán Thời gian: 150 phút Ngày thi: 5/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : 2 2 2 2 1 a b c abc     Tính giá trị biểu thức:          2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 P a b c b a c c b a abc          

Câu 2. (4 điểm): Giải phương trình: a)  

2 2 9 12 1 x x   

b) 2 2 2 x x    Câu 3. (5 điểm):

a) Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.

Chứng minh rằng: .  

2 2 2 a b a b x y x y

    b) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.

Chứng minh rằng: . 2 2

4 1 1 3 x y x y     Câu 4. (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7.

a) Gọi G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: IG//BC. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: A, M, I, N cùng nằm trên một đường tròn. Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh là số nguyên. Chứng minh rằng: Bán kính đường tròn nội tiếp cũng là số nguyên.

--- Hết ---

ThuVienDeThi.com

Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú 2

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 – TỈNH ĐỒNG NAI 2016 – 2017 Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : 2 2 2 2 1 a b c abc     Tính giá trị biểu thức:          2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 P a b c b a c c b a abc          

Giải: Theo bài ra: 2 2 2 2 1 a b c abc     Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ; 2 1 ; 2 1 a abc b c b abc c a c abc b a          Ta được :

        

     

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

= a 1 1 1

= a 2 2 2

= a

= a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab)

P a b c b a c c b a abc

c b b c b c a a c c a b a b abc

a abc b c b b abc a c c c abc a b abc

a bc b b ac c c ab abc

         

           

        

     



2 2 2

(a, b, c >0)

2 1

abc

a b c abc     

Câu 2. (4 điểm): Giải phương trình: a) b)  

2 2 9 12 1 x x    2 2 2 x x   

Giải:

 

   

2 2 4 2

2 2 4 2 2 2

2 2

2 2 2

) 9 12 1 18 81 12 1

18 81 36 12 1 9 6 1

2; x = 4 9 6 1 6 8 0

( 3) 1 0 (vn) 9 6 1 6 10 0

x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

a       

        

                             Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 2 or x = 4 b) . ĐKXĐ: 2 2 2 x x    2 x 

2 2

2 2

1 1 1 2 2 2 2. 2. 2 4 4 1 1 2 2 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 (2) 2 2 2

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

          

                                      Giải phương trình (1): 2 2 (x 0) 2 x x x x       2 x 2 0 1 (L); x = 2 (N) x x       Giải phương trình (2): ( ) 2 1 (2) x x   1 x 

ThuVienDeThi.com

Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú 3

2 2

1 5 ( ) 2 2 1 2 1 0

1 5 ( ) 2

x L x x x x x

x N

           

   

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x =2; . 1 5 2 x  

Câu 3. (5 điểm):

c) Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.

Chứng minh rằng: .  

2 2 2 a b a b x y x y

    d) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.

Chứng minh rằng: . 2 2

4 1 1 3 x y x y     Giải: a)

   

 

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

a ( ) ( ) (x, y >0)

2 0

a b a b x y b x y a b x y x y x y

a y b x a y b x a b a b ab x y x y

         

         

(đúng với x, y >0)

2

0 a y b x x y

          

Vậy: với x, y >0.  

2 2 2 a b a b x y x y

    b) Ta có: Với x>0, y >0 với x + y = 1 thì x = 1 – y và y = 1 – x;

   2 2 1 1 1 1 (1 )(1 y) y(1 ) x(1 y) x y x y x y x y x x y x              Do x>0, y> 0, Áp dụng Côssi cho 2 số dương:

2 . y(1 ) x(1 y) y(1 ) x(1 y)

1 1 1 2 2 2 (1) y(1 ) x(1 y) (1 )(1 ) 1 2

x y x y x x

x y x x y x y xy xy

     

       …