Đề thi học sinh giỏi môn Toán học lớp 9 năm 2017

Bài 1: ( 2,5 điểm)

a. Cho:

2

2 1 2 2 4 2 7 10 5 x x x A x x x x           - Thực hiện rút gọn A. - Tìm x nguyên để A nguyên. b. Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2

Bài 2: ( 1,5 điểm)

a. Chứng minh: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc với mọi số a, b, c.

b. Chứng minh với mọi số dương a, b, c. c b a c ab b ac a bc     

Bài 3: (1,5 điểm)

Giải phương trình: 6

42 12 4

20 8 8

72 16 2

6 4 2 2 2 2



   

   

   

 

x

x x x

x x x

x x x

x x

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD.

a. Chứng minh DE  CF; EF = CM b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F. Chứng minh BF = CE.

Bài 1: ( 2,5 điểm)

5

4 2 ) 2 )( 5 (

2 2 1 2



   

     x

x x x

x x x A

Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2

) 2 )( 5 (

15 8 ) 2 )( 5 (

2 )( 4 2 ( 2 5 2 2

 

     

        x x

x x x x

x x x x x A

2

3 2 )( 5 (

) 3 )( 5 (



    

    x

x x x

x x A

( 2) 1 1 1 2 2 x A x x       

A nguyên khi và chỉ khi nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 1

2 x   x=3, hoặc x=1.

Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2 = (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được: = (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)]

ThuVienDeThi.com

Thay c2 = (a+b)2 vào ta được: = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)] = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)] = 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2] = 0  a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm)  2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + ac + bc)  2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc  0  (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2  0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2  0 …) nên có đpcm

 c b a abc ab abc ac abc bc     

2 2 2 ) ( ) ( ) (

Nhân hai vế với số dương abc được:  ab c ac b bc a ab ac bc 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) (      Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có:    2 2 2 ) ( ) ( ) ( ab ac bc  đpcm ab c ac b bc a 2 2 2   Bài 3: (1,5 điểm)

 6

6 ) 6 ( 4

4 ) 4 ( 8

8 ) 8 ( 2

2 ) 2 ( 2 2 2 2



   

   

   

 

x x x x x x x x

 6 6 6 4 4 4 8 8 8 2 2 2                x x x x x x x x

  6 6 4 4 8 8 2 2

       x x x x 6 3 4 2 8 4 2 1

       x x x x

 ) 6 )( 4 (

24 5 ) 8 )( 2 (

16 5

 

   



x x

x x x

x

 (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)  (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)  5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24 = 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16  8x2 + 40x = 0  8x(x + 5) = 0 x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm

Bài 4: (3,0 điểm) Câu a: 1,25 điểm

DF = AE  DFC = AED

 ADE = DCF

 EDC + DCF = EDC + ADE EDC + ADE = 900 nên DE  CF MC = MA (BD là trung trực của AC)

MA = FE nên EF = CM

Câu b: 1,0 điểm

A B

C D

M

E

F

ThuVienDeThi.com