Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2011 - 2012 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 1 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012

Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1).

Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = 1007 2013 1007 2013 2 2   

Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n Z ) 

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x - .So sánh f(1- ) và f(1- ). 2012 2011 2013

Câu 5: (1,5điểm) Cho ABC có trung tuyến AM .Chứng minh :

2 2 2 2 BC AB AC 2AM 2   

Câu 6 : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương.

Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 4 4 3 3 x y xy x y   

Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =  

2 2 3 2 2 3 6 x x    

Câu 9: (1,5điểm) Cho ABC có nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng: àA BC 2R.sin A 

Câu 10:(1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = 1

Câu 11:(1,5điểm) Cho ABC, đường thẳng d cắt AB , AC và trung tuyến AM theo thứ tự tại E ,F,N

(E A,B và F A,C ).Chøng minh : .   AB AC 2AM AE AF AN  

Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH là khoảng

cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB với OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định .

. . . . . . . HẾT . . . . . . . -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị không được giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh : ...................................... Giám thị 1: .......................................Ký tên...................

Số Báo danh ........................................... Giám thị 2: .......................................Ký tên...................

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÂM ĐỒNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM

Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1).

A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 0,5đ

= (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ

= (a–b)3+(a–b)2 0,5đ

= 33+32=36 0,5đ

Câu 2(2,0 điểm) B = 0,5đ 2014 2 2013 2014 2 2013 4 4   

= 0,5đ

2 2 ( 2013 1) ( 2013 1) 4 4   

= 0,5đ 2013 1 2013 1 2 2   

= -1 0,5đ Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n Z )  A = n3 – 6n2 – 12n + 18 A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 0,5đ ⇔ A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 0,5đ ⇔ Do n(n – 1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) 6 0,5đ ⋮ Mặt khác – 6n2 – 12n + 18 6 nên A 6 0,5đ ⋮ ⋮

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2-5)x- .So sánh f(1- )và f(1- ). 2012 2011 2013

Biến đổi (4m - m2 - 5) = 0,5đ  

2 m 2 1       

hàm số y = f(x ) nghịch biến 0,5đ   

2 m 2 1 0         

Lập luận 0,5đ 1 2011 1 2013  

0,5đ f (1 2011) f (1 2013)   

Câu 5 : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM .Chứng minh :

2 2 2 2 BC AB AC 2AM 2   

Vẽ AH BC ,H BC  

c/m được AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2 (1) 0,5đ

c/m được AH2 = AM2 - HM2

BH2 = BM2 -2BM. HM+HM2

CH2 = HM2 -2HM. CM+CM2 (2) 0,5đ H M

A

B C

ThuVienDeThi.com