bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Bài 2. (4 điểm)

a) Cho x, y, z là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 > 0.

b) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn : . x y 3 xy 2  

Bài 2. (4 điểm)

a) Ta có A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 = (2xy – x2 – y2 + z2)(2xy + x2 + y2 – z2)

= [z2 – (x – y)2][(x + y)2 – z2] = (z – x + y)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) = (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) Vì x, y, z là ba cạnh của tam giác nên y + z > x, z + x > y, x + y > z và x + y + z > 0  (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) > 0  A > 0 (đpcm).

b) Cách 1. (1). Điều kiện x, y > 0. x y 3 1 1 3 xy 2 x y 2     

- Nếu x  y  hay  x  . Ta được 0 < x  . 1 1 2 1 1 x y x x y     2 3 x 2  4 3

4 3

Vì x là các số tự nhiên nên x = 1. Thay vào (1) ta được y = 2.

Trường hợp này ta được x = 1, y = 2 thoả mãn giả thiết.

- Nếu x  y, tương tự như trên, ta được x = 2, y = 1 thoả mãn giả thiết.

Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm là (1 ; 2) và (2 ; 1).

Cách 2. Điều kiện x > 0 và y > 0.

Khi đó :  2(x + y) = 3xy  9xy - 6x - 6y = 0 x y 3 xy 2  

 (9xy - 6x) – (6y – 4) = 4  (3x – 2)(3y – 2) = 4  3x – 2  Ư(4) = {1; 2; 4}

Vì x là các số tự nhiên lớn hơn 0 nên x  1 3x – 2  1. Hơn nữa 3x – 2 chia cho 3 dư 1. Suy ra 3x – 2  {1 ; 4}. Từ đó, ta có hai trường hợp:

TH1 : ; 3x 2 1 x 1 3y 2 4 y 2             

TH2 : . 3x 2 4 x 2 3y 2 2 y 1              Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm là (1 ; 2) và (2 ; 1).

Bài 4. (2 điểm)

Cho các số a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện . 1 1 1 0 a b c   

Tính : .

2 2 2

2 2 2 a b c P a 2bc b 2ca c 2ab       Bài 4. (2 điểm)

Vì  ab + bc + ca = 0. 1 1 1 0 a b c   

ThuVienDeThi.com

Ta có a2 + 2bc = a2 + bc + bc = a2 + bc – ca – ab (thay bc = –ca – ab)

= a(a – b) – c(a – b) = (a – b)(a – c).

Tương tự ta có b2 + 2ca = (b – a)(b – c); c2 + 2ab = (c – a)(c – b)

Từ đó : (vì a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a)

2 2 2 a b c P (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)         

2 2 2 a (c b) b (a c) c (b a) (a b)(b c)(c a)         

Mà a2(c – b) + b2(a – c) + c2(b – a) = a2(c – b) + b2[a – b) + (b – c)] + c2(b – a) =

= [b2(a – b) – c2(a – b)] – [a2(b – c) – b2(b – c)]

= (a – b)(b – c)(b + c) – (a – b)(b – c)(a + b) = (a – b)(b – c)(c – a).

Vậy . (a b)(b c)(c a) P 1 (a b)(b c)(c a)         Câu 5 (2 điểm)

a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy

b) Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + y2 + z2

GIẢI

a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy Ta có A = (x + y)3 - 3xy(x + y) + xy = 1 - 2xy (1) Từ x + y = 1 => (x + y)2 = 1 => x2 + y2 + 2xy = 1 => 2xy = 1 - (x2 + y2) thay vào (1) ta được A = x2 + y2 với y = 1 - x ta được A = 2x2 -2x + 1 = 2(x2 -2x.1/2+1/4-1/4) + 1 = 2(x - 1/2)2 +1/2 1/2 Dấu “=” xảy ra  x = 1/2  Vậy Min A = 1/2  x = 1/2 và y = 1/2

b) Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + y2 + z2 Ta có B = x2 + y2 + z2 = (x+y+z)2 -2(xy+yz+zx) = 9 - 2(xy+yz+zx) (1) Ta dễ chứng minh được x2 + y2 + z2 xy+yz+zx  => 2(x2 + y2 + z2 ) 2(xy+yz+zx)  => 2B 2(xy+yz+zx) (2)  Cộng (1) với (2) ta được 3B 9  B 3. Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 1   Vậy Min B = 3  x = y = z = 1

Bài 1: ( 3 điểm) a) Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5. Tính x3+ y3 b) Phân tích đa thức sau thanh nhân tử: x2 - x - 2010.2011

GIẢI

a) x+y = 3 suy ra (x+y)2 = 9 suy ra x2+y2+2xy =9 suy ra xy=(9-5):2=2

ThuVienDeThi.com