Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2013-2014 môn Toán lớp 9

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2013-2014

MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: . x y x y x y 2xy P : 1 1 xy 1 xy 1 xy

                      

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P với . 2 x

2 3 



Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị

của hai hàm số: và . 1 3 y x 2 2   y x 

a) Vẽ đồ thị (D) và (L).

b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông.

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: . 4 3 2 6x 5x 38x 5x 6 0     

Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.

Chứng minh rằng: . 2 2 2 1 1 1 AM AI a  

Bài 5: (6 điểm)

Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N   là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.

b) MN AD. 

c) ME.MA = MF.MD.

---------- Hết ----------

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9

Bài Đáp án Điểm 1 ĐKXĐ: . x 0;y 0;xy 1    0,5 đ a) Mẫu thức chung là 1 – xy

( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy P : 1 xy 1 xy            

x x y y y x x x y y y x 1 xy . 1 xy 1 x y xy             

2( x y x) 2 x(1 y) 2 x (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x          

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

b) 2 2 2(2 3) x 3 2 3 1 ( 3 1) 4 3 2 3

        

2 x ( 3 1) 3 1 3 1      

2 2( 3 1) 2 3 2 P

1 ( 3 1) 1 3 2 3 1

2( 3 1) 6 3 2 P 13 5 2 3

         

    

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

2 a) Đồ thị có : 1 3 y x 2 2  

3 x 0 y 2 y 0 x 3

       

Đồ thị x khi x 0 y x x khi x 0       Đồ thị như hình vẽ:

(L)

(D)

3/2

3

N 3

- 3

1

1

M

x

y

O

0,5 đ

0,5 đ

1 đ

ThuVienDeThi.com

b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3)

Ta có: OM = OM2 = 2 2 2 1 1 2   

ON = ON2 = 18 2 2 3 ( 3) 3 2   

MN = MN2 = 20 2 2 (1 3) (1 3) 20      Vì: OM2 + ON2 = MN2 Vậy: tam giác OMN vuông tại O

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ

3 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:

2

2 5 6 6x 5x 38 0 x x     

2

2 1 1 6(x ) 5(x ) 38 0 x x      

Đặt thì: 1 y x x   2 2 2 1 x y 2 x   

Ta được pt: 6y2 – 5y – 50 = 0 <=> (3y – 10)(2y + 5) = 0

Do đó: 10 5 y và y 3 2  

* Với thì: 10 y 3  2 1 10 x 3x 10x 3 0 x 3      

<=> (3x – 1)(x – 3) = 0 <=> 1

2

1 x 3 x 3

     

* Với thì: 5 y 2  2 1 5 x 2x 5x 2 0 x 2      

<=> (2x + 1)(x + 3) = 0 <=> 3

4

1 x 2 x 2

     

1 đ

1 đ

1 đ

1 đ

4

J

M

C D I

B A

Vẽ Ax AI cắt đường thẳng CD tại J.  Ta có AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 

(1) 2 2 2 1 1 1 AD AJ AI  

Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có:

0,5 đ

0,5 đ

ThuVienDeThi.com