Ôn thi học sinh giỏi khối 9

THI HOC SINH GIOI LOP 9 MON DAI SO Nguyen Van Nho, soạn ngày 6.3.2017 (TG : 120 ph) Câu 1:

a) Giải phương trình: 2

2 1 1 2 3 16 0 x x x x                 

.

b) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình sau đây nhỏ nhất:

  2 2 1 4 3 0 x m x m      .

Câu 2:

Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:

2 2 3 2x 3x 11

1 3x 2x 5

x y

x

   

   

.

Câu 3:

Cho bốn số nguyên dương bất kì , , , a b c d . Chứng minh rằng số

a b c d A a b c a b d b c d a c d          

không phải là một số nguyên.

Câu 4. Cho parabol (P): 2  y x và đường thẳng (d) đi qua điểm (0; 1)  I và có hệ số góc là k . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là 1 2 ; x x . 1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung. 2) Chứng minh rằng   3 3 1 2 2    x x k R .

Câu 5.

Giải hệ phương trình:

2 3 2

4 2

1

(2 1) 1

           

x x y xy xy y

x y xy x

ThuVienDeThi.com

HD

Câu 1. a) Đặt 1 t x x   . Đáp số

? ? ?

2

1 2

x

x

.

b) Đặt điều kiện để pt đã cho có nghiệm. Để ý :

 

2 2 2 2 1 2 4 4 7 2 1 6 6 A x x m m m          .

Câu 2. Biểu thức y có nghĩa khi và chỉ khi

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

2

2 2

3 2x 0

3x 11 0

1 0

1 3x 2x 5 0

x

x 2

2

3 2

11

3 1

1 0

3x 2x 5 0

x

x

x

x

     

          

1 1 x  .

Câu 3. Vì , , , a b c d Z   nên

a b c d A a b c a b d b c d a c d            

a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d            

1 

Ta lại có

, , 0

1

x y z

x y

    

x x z y y z    

. Thật vậy, 1 x y  x y  

xz yz   xy xz xy yz         x y z y x z    

x x z y y z     .

Từ đó:

a a d a b c a b c d        ,

b b c a b d a b c d        ,

c a c b c d a b c d        ,

d d b a c d a b c d        .

Suy ra 2 A  . Như vậy, 1 2 A   , do đó A không phải là một số nguyên. Câu 4. 1) + Đường thẳng (d) có pt: 1 y kx  .

+ PT tương giao (d) và (P): 2 2 1 1 0 x kx x kx      . (*)

+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x vì   2 4 0 k k    .

ThuVienDeThi.com

+ Trung điểm M của AB có hoành độ là 1 2 2 2    x x k

;

M nằm trên trục tung  0 0 2     k k .

2) Theo ĐL Viết ta có: 1 2 , x x k   1 2 1 x x . Khi đó :

3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) x x x x x x x x         = 2 1 2 1 2 1 2 . ( ) x x x x x x    .

Ta lại có

  2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 x x x x x x k      

Từ đó : 3 3 1 2 x x = 2 2 4( 1) 2 k k    , k  R  .

(Đẳng thức xảy ra khi k = 0). Câu 5.

Ta có

2 3 2

4 2

1

(2 1) 1

           

x x y xy xy y

x y xy x ? ?

2 2

2 2 ( ) ( ) 1

1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

x y xy x y xy

x y xy

Đặt

2 a x y

b xy

   

. Hệ trở thành: 2

1

1

a ab b

a b

       

(*)

Hệ

3 2 2

2 2 2 0 ( 2) 0 (*)

1 1

a a a a a a

b a b a

                   

Từ đó tìm ra   ( ; ) (0; 1); (1; 0); ( 2; 3) a b    .

Với ( ; ) (0; 1) a b  ta có hệ

2 0 1 1

x y x y xy

        

.

Với ( ; ) (1; 0) a b  ta có hệ

2 1 ( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0) 0

x y x y xy

        

.

Với ( ; ) ( 2; 3) a b   ta có hệ

2

3 2

3 3 2 1; 3 3 2 3 0 ( 1)( 3) 0

y y x y x y x x xy x x x x x

                             

.

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm   ( ; ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3) x y     .

ThuVienDeThi.com