Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thc môn thi Toán

GV: Võ Mộng Trình – Trường THCS Cát Minh – Phù Cát

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2017

Đề chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017

Bài 1 (6,0 điểm).

1. Cho biểu thức: P = 2 16 6 2 3 2 2 3 1 3 m m m m m m m           a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: 1 1 4 x y x y   

b) Cho phương trình: (m là tham số). Có hai nghiệm và . Tìm giá trị 2 2 3 2 0 x mx    1x 2x

nhỏ nhất của biểu thức: M =  

2 2 2 2 1 2 1 2

1 2

1 1 x x x x x x            Bài 3 (2,0 điểm)

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 x yz y xz z xy xy yz zx              

Bài 4 (7,0 điểm).

1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.

a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức:

MH + MI + MK =   2 3 S + 2S'

3R 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho . Chứng minh MA là tia phân giác của góc A A MAN = BAC ANMF

ThuVienDeThi.com

GV: Võ Mộng Trình – Trường THCS Cát Minh – Phù Cát

Bài 1 (6,0 điểm).

1a) Rút gọn được P = (với m 0, m 1) 1 1 m m

 

 

1b)

P = = 1 + 1 1 m m

 

2

1 m 

Ta có: P N là ước dương của 2 m (TMĐK)  2 1 1

N m m     

   4; 9 

Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm. 2) a + b + c 4 (a, b, c Z)   Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b   Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc =    2 16 4 4 k ak ack ac k b abc     

= 64 3 2 2 2 16 16 4 16 4 4 k bk ak abc ck bck ack abc        abc 

= (*)   3 2 2 2 4 16 4 4 4 2 k bk ak abk ck bck ack abc       

Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1)  Mà: a + b + c 4 a + b + c 2 (theo giả thiết) (2)    Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai  Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2 

2abc 4 (**)   Từ (*) và (**) P 4  

Bài 2 (5,0 điểm).

a) (đúng) 1 1 4 x y x y        2 2 4 4 0 a b a b ab a b ab a b           b) PT có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt và 1x 2x

Ta có: và 1 2

3

2

m x x   1 2

2 . 2 x x 

M = = ......=  

2 2 2 2 1 2 1 2

1 2

1 1 x x x x x x           

           

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2

1 1 1 4 1 x x x x x x x x x x x x x x

                           

= 2 9 2 9 8 2 8 8 2 8 2 m              Dấu “=” xảy ra khi m = 0 Vậy GTNN của M là khi m = 0 8 2 8  Bài 3 (2,0 điểm)

Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương và yz, ta có: 2x

+ yz 2x 2 2 2 x yz x yz   2

1 1 1 1 . 2 2 x yz x yz x yz    

Tương tự, ta có: và 2

1 1 1 . 2 y xz y xz   2

1 1 1 . 2 z xy z xy  

ThuVienDeThi.com