Đề thi học sinh giỏi lớp 9 trung học cơ sở năm học 2016 - 2017 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2016- 2017 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút ( không kể phát đề) Câu 1: (7 điểm)

a) Chứng minh rằng: 8 7 6 5 4 4 6 4      A n n n n n chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.

b) Cho biểu thức    

2 2 2

2

2 3 12

2 8       x B x x

x

x . Rút gọn biểu thức B và tìm

các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên. c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2y x x y 1 x 2y xy      Câu 2: (3 điểm) Cho hàm số 2 y 2 x 6 9 x 2 x      có đồ thị(D) a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên. b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 2 x 6 9 x 2 m x      vô nghiệm. c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 2 x 6 9 x. x    Câu 3: (2 điểm)

Cho x, y, z là các số thực thỏa :

2 2

2 2

2 2

2017 3

1009 3

z 1008

               

y x xy

y z

x x z

,(x 0,z 0,x z)   

Chứng minh rằng: 2 y z . x x z z   

Câu 4: (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn (O1) và (O2) với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2) .

a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường

thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB. b) Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng

MN cắt đường tròn (O) tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Câu 5: (3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 900. Từ B kẻ BM vuông góc với

AC tại M (điểm M AC  ). Chứng minh :

2 AM AB 1 2 . MC BC       

. . . . . . . . HẾT . . . . . . . .

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT BẾN TRE GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

MÔN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2016 – 2017

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu

1 7,0 điểm

a)Chứng minh rằng: 8 7 6 5 4 4 6 4      A n n n n n chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.

   

4 8 7 6 5 4 4 4 3 2 4 6 4 4 6 4 1 1                 A n n n n n n n n n n n n

Vì n(n+1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n+1):2  

4 4 1 2 16       n n

Do đó A:16 với mọi nZ

b)Cho biểu thức    

2 2 2

2

2 3 12

2 8       x B x x

x

x . Rút gọn biểu thức B và

tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

       

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 3 12 3 3 2 8 2 2               x x x B x x x x x x

x

x

+Nếu x < 0:

2 2 3 -2 2 -3 3 2 -2 2-          x x x B x x x x x

B có giá trị nguyên khi x 1 x Z x x 3 3 Ö(3) vaø x < 0        

+Nếu 0 x 2   :

2 3 2 3 3 2 2         x x B x x x x

B có giá trị nguyên khi 3 Z x x 1 x Ö(3) vaø 0<x 2      

+Nếu x > 2:

2 2 3 2 2 3 3 2 2 2           x x x B x x x x x

B có giá trị nguyên khi x Z x x 3 3 Ö(3) vaø x > 2     

KL:



2

2

2x 2x 3 x 2x 3 B x 2x 2x 3 x

neáu x < 0

neáu 0 < x 2

neáu x > 2

    

         

B có giá trị nguyên khi   x 1; 3 

c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2y x x y 1 x 2y xy         2 2 2 2 2y x x y 1 x 2y xy x 1 x 2y y 1          

2

2

x 1 1

x 2y y 1

x 1 1

x 2y y 1

                 

2

2

x 2

2y y 1 0

x 0

2y y 1 0

                

x 2 y 1

x 0

y 1

             

Vậy : phương trình có hai nghiệm nguyên là (2;1), (0;1)

ThuVienDeThi.com