Xem trước nội dung
µ GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................1
PHÒNG GIÁO DỤC TP. QUY NHƠN ===µ === KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ QUY NHƠN MÔN TOÁN LỚP 9 – NĂM HỌC 2007 – 2008 Ngày 17 – 01 – 2008 – Thời gian 150 phút (không thể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. Rút gọn:
A = 3 5 3 5 + − −
B = 4 10 2 5 4 10 2 5 + + + − +
Câu 2. Tính tổng:
a) P = 1 1 1 1.2 2.3 2007.2008 + + + ⋯
b) Chứng minh : 2 2 2 1 1 1 1 2 3 2008 + + + < ⋯
Câu 3. Cho các biểu thức:
M =
2
1
9x 4x 1 + +
, N =
2 2x 2
x 2x 1
−
− +
Tìm giá trị nguyên của x để P = 2M N Z 3
+ ∈
Câu 4. a) Cho x, y, z thỏa điều kiên xyz = 1.
Chứng minh: 1 1 1 1 1 x xy 1 y yz 1 z zx + + = + + + + + +
b) Chứng minh: 3 2 − là số vô tỉ.
c) Chứng minh: số ( )
2007 3 2 − viết trong hệ thập phân có ít nhất 669 chữ số 0 liên tiếp
ngay sau dấu phẩy. Câu 5. Cho hai đường thẳng d1, d2: y = a1x + b1 (a1 ≠ 0)
y = a2x + b2 (a2 ≠ 0)
Tìm quan hệ giữa a1, b1, a2, b2 để: a) d1 // d2 b) d1 cắt d2 ở trục tung c) d1 cắt d2 ở trục hoành Câu 6. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Gọi M là trung điểm của BC, H; G là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Đường kÍnh qua A cắt đường tròn (O) tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành b) Chứng minh AH = 2OM c) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng Câu 7. Xác định tam giác có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các tam giác có cùng diện tích và có chung một cạnh.
ThuVienDeThi.com
µ GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................2
GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN MÔN TOÁN 9 – NĂM HỌC 2007 – 2008 Ngày 17 – 01 – 2008 – Thời gian 150 phút Câu 1 Rút gọn
A = 6 2 5 6 2 5 5 1 5 1 2 3 5 3 5 2 2 2 2 2 2
+ − + − + − − = − = − = =
B = 4 10 2 5 4 10 2 5 + + + − + > 0
Ta có: B2 =
2 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 + + + − + = + + + − + +
+2 4 10 2 5 4 10 2 5 + + − +
= ( ) ( ) 8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 5 1 + − + = + − = + − =
= ( )
2 6 2 5 5 1 + = +
Do đó: B = 5 1 +
Câu 2 Tính tổng:
a) P = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2007 1.2 2.3 2007.2008 1 2 2 3 2007 2008 1 2008 2008 + + + = − + − + + − = − = ⋯ ⋯
b) Chứng minh 2 2 2 1 1 1 1 2 3 2008 + + + < ⋯
Ta có: 2 1 1 1 1 k.(k 1) k 1 k k
< = − − − (1) (k > 1)
Cho k lấy các giá trị từ 2 đến 2008, thay vao bất đẳng thức (1), rồi cộng vế theo vế ta có:
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2007 2008 1 2008 2 3 2008 + + + < − + − + + − = − < ⋯ ⋯ (đpcm)
Câu 3
Tìm x ∈ Z để P = 2M N 3
+ ∈ Z
Ta có N =
2 2x 2 2(x 1)
x 1 x 2x 1
− − =
− − + , M =
2
1
9x 4x 1 + +
=
2 1 1 3 2 5 5 2 5 3x 9 3 9
< = < + +
+) Xét trường hợp x > 1, ta có N = 2
Khi đó P = 2M N 2(M 1) 3 3 + + = ∈ Z ⇒ M + 1 ⋮ 3 ⇒ M không có giá trị vì 0 < M < 2.
+) Xét trường hợp x < 1, ta có N = - 2
Khi đó P = 2M N 2(M 1) 3 3 + − = ∈ Z ⇒ M – 1 ⋮ 3 ⇒ M = 1 (vì 0 < M < 2)
Ta có:
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
