Đề HSG Toán 9 huyện Thanh Chương 2011-2012 vòng 1

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I NĂM HỌC: 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.

Tính giá trị các biểu thức:

a. ; b. 28 10 3 4 3 7    2 27 7 5 10 7 2  

Câu 2.

Giải phương trình: a. 2 2 1 3 x x     b. 2 13 50 4 3 x x x    

Câu 3.

a. Cho ; với . Chứng minh: chia hết cho 59. 2 2 1 5 26.5 8 n n n A      n N  A

b. Cho là hai số thực dương thỏa mãn: và ;a b 6 a b   8 18 21 3 3 B a b a b    

Tìm giá trị nhỏ nhất của B c. Tìm các số nguyên thỏa mãn: là số chính phương. n 2 2014 n 

Câu 4.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Biết độ dài ; với 2.sin BN   2cos CM   0 90 o o    Tính độ dài đoạn MN.

Câu 5.

Tam giác ABC có đường cao CH, phân giác AD, trung tuyến BM gặp nhau tại điểm O. Kẻ MN vuông góc với HC tại N. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại A, đường thẳng đó cắt BC tại P. Chứng minh:

a. NM AM BH AB 

b. A A .sin .sin AB PAB BC HCB 

Hết./.

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang)

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 2

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HS GIỎI CẤP HUYỆN. V1 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)

Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm

a 28 10 3 4 3 7 25 2.5. 3 3 4 2.2. 3 3

5 3 2 3 7

        

    

0,5 0,5

1

b

2 27 7 5 2. 54 14 5 49 2.7 5 5 7 5 1 10 7 2 2( 5 7) 7 5 7 5              1,0

2,0

a

ĐK: : 1 x 

 

2 2 2 1 3 1 2 1 1 3 1 1 3 x x x x x          

HS lập luận, đối chiếu ĐK tìm được 3 x 

1,0

2

b

ĐK: 3 x 

  

2 2

2 2

13 50 4 3 14 49 3 2.2. 3 4 0

7 0 7 3 2 0 7 3 2 0

x x x x x x x

x x x x x

           

                

0,75

1,75

a 

2

59 (64 5)

2 2 1 5 26.5 8 25.5 26.5 64 .8 51.5 8.64

59.5 8.64 8.5 59.5 8.(64 5 ) 59

n n n

n n n n n n

n n n n A

A



         

      

 

 

0,25

0, 5

b

8 18 21 2 18 7 21 3 ( ) (2 ) ( . ) 3 3 3 B a b a b a b a b a b          

Áp dụng BĐT Côsi:

2 18 7 21 .6 2. 2 . 2. . . 4 2.6 2.7 30 3 3 B a b a b        

, HS lập luận: Dấu “=” xẩy ra 30 Min B  3 a b   

0,25

0,25

0,25

3

c

Đặt: ( số nguyên) 2 2 2014 n p   p ( )( ) 2014 (1) p n p n     Xét tổng: (Chẵn) ( ) ( ) 2 p n p n p     + Nếu: ( ) chẵn thì ( ) chẵn p n  p n  Vế trái của (1) chia hết cho 4  Mà Vế phải của (1): 2014 không chia hết cho 4 (*) + Nếu ( ) lẻ thì ( ) lẻ p n  p n  Vế trái của (1) không chia hết cho 2  Mà vế phải của (1): 2014 chia hết cho 2 (**) Từ (*) và (**) suy ra không tồn tại số nguyên n nào thỏa mãn.

0,25

0,25

2,25

2,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 3

4

Áp ụng định lý Pitago trong tam giác: MAC, NAB ta có:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

BN AN AB

CM AM AC

BN CM AN (2AM) AM +(2AN)

4(sin cos ) 5(AN AM ) 5.MN  

           

     HS lập luận MN là đường trung bình và chỉ ra: = 1 2 2 sin cos   

để tính được 2 5

5 MN 

0,5

0,5

0,5

O

0,25

a

MN // AB (Vì MN, AB cùng vuông góc CH): (Theo MN MO BH OB 

Talet) (1)

AD phân giác nên AO là phân giác ABAC ABAM  (2) MO MA OB BA 

Từ (1) và (2): NM AM BH AB 

0,25

0,25

0,25 5

b

PA AC nên: =  A A A A 90 sin os o PAB BAC PAB c BAC     AH

AC

Trong tam giác vuông BHC: A sin BH HCB BC 

A

A sin . (3) sin

PAB AH BC

AC BH HCB  

Từ câu a.

1 1 2 2 (4) AH AC NM AM AH AC AH BH BH AB BH AB BH AB AC AB       

Từ (3) và (4):

A

A

A A sin . . sin sin sin

PAB AH BC BH BC BC AB PAB BC HCB AC BH AB BH AB HCB

    

0, 5

0,25

0,25

0, 5

1,5

2,5

Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa

N

P

D

H

M

A

B

C

M N

B

A

C

ThuVienDeThi.com