Đề HSG Toán 9 huyện Phù Ninh 2012-2013 (dự tuyển)

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2012 - 2013

Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09/01/2013 Câu 1. (3,0 điểm)

a. (1,5 điểm) Cho , 3 3 x 1 2 4   Chứng minh rằng: là một số chính phương. 3 2 P x 3x 3x 3     b. (1,5 điểm):

1. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p = 6 1 m , với m là số tự nhiên.

2. Tìm số nguyên tố p sao cho 1 8 2  p là số nguyên tố. Câu 2 (3,0 điểm):

Cho biểu thức: 2 2 2 ( 1)( 2 ) x x P

x x x x x x x         a. Rút gọn . P b. Tính P khi . 3 2 2 x   c. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên. x P Câu 3 (6,0 điểm):

a) (2,0 điểm) Giải phương trình:

2 2 10 1 1 9 x x x x                 b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m sao cho 3 m là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: 3 2 3 a m b m c 0   

c) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:

2

2 3

2 3

1 1 1 4

1 4

x x y y

x x x y y y

                    Câu 4 (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O ; R), trên đó lấy một điểm cố định A và vẽ đường tròn (A ; R). Lấy điểm H di động trên (A ; R), cát tuyến của (O) đi qua A và H cắt (O) tại điểm thứ hai K. Dựng trung trực của đoạn HK cắt (O) tại B và C.

1. Chứng tỏ rằng H là trực tâm của tam giác ABC. 2. Tính số đo góc A của tam giác ABC. Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: a b c 2 b c c a a b      

--------------- Hết --------------

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2012 - 2013 Câu I. (3,0 điểm)

a. (1,5 điểm) Cho , Chứng minh rằng: là một 3 3 x 1 2 4   3 2 P x 3x 3x 3     số chính phương.

 

2 3 3 3 3 3

3 3

3 3 3

1 2 2 . 2 1 2 1 1 x 1 2 4

2 1 2 1 2 1

                 

0,75 đ

  3 3 3 x 2 1 1 2.x x 1 2.x x 1             

3 3 3 2.x x 1   

. 3 3 2 3 2 2 2x x 3x 3x 1 P x 3x 3x 3 4 2            Vậy P là số chính phương.

0,75 đ

b. (1,5 điểm): 1. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p = 6 1 m , với m là số tự nhiên. 2. Tìm số nguyên tố p sao cho 1 8 2  p là số nguyên tố.

2. Câu 2 (3,0 điểm):

Cho biểu thức: 2 2 2 ( 1)( 2 ) x x P

x x x x x x x         d. Rút gọn . P e. Tính P khi . 3 2 2 x   f. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên. x P

a

2 2 ( 1) ( 2) ( 1)( 2)

( 2) 2( 1) 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

2 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)

x x P

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

       

               

             

1,0

b

2 3 2 2 2 2 2 1 ( 2 1) 2 1 x x         

( 1) 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 x P

x

        

1,0

c

ĐK: : 0; 1 x x  

( 1) 1 2 2 1 ( 1) 1 1 x x P

x x x         Học sinh lập luận để tìm ra hoặc 4 x  9 x 

1,0

- Mọi p nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 2 và 3 nên , từ 







 

 

m p

m p

m p

6

2 6

3 6

đó hay p =   

 

 

1 6

5 6

m p

m p 6 1 m 

- Xét p>3 thay p = vào biểu thức A= thấy (loại) 6 1 m  1 8 2  p 3 3  A  thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận) p=2, A=33 (loại).

0,75

0,75

ThuVienDeThi.com