Đề thi học sinh giỏi khối 9 năm học 2015 2016 môn thi Toán

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ THI HS GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016 TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP Ngày 24 tháng 10 năm 2015 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề).

Bài 1: (4,5 điểm)

Cho biểu thức: 1 1 x 1 x 3 P : x 1 x x 3 x 1

          

        a) Tìm điều Kiện xác định của P

b) Rút gọn P

c) Tìm x để 1 P 2 

Bài 2: (4,5 điểm)

a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2 2x 5 

b) Cho x, y là các số thoả mãn:    2 2 x 9 x y 9 y 9     

Hãy tính giá trị của biểu thức:

2011 2011 A x y 1   

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Với a, b > 0 chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào?         

1 1 1 1 a b 4 a b

b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:    1 1 1 8 x y z

Tìm giá trị lớn nhất của          1 1 1 M 2x y z x 2y z x y 2z

Bài 4: (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD (HAD); kẻ CK

vuông góc với AB (KAB).

a) Chứng minh đồng dạng . KBC  HDC 

b) Chứng minh đồng dạng , suy ra HK = AC.sinBAD HCK  ABC 

c) Chứng minh AB.AK + AD.AH = AC2

Bài 5: (2,0 điểm) Cho vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC. Gọi H và K lần lượt là ABC  hình chiếu của M lên các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng:

AC AB 4 MH MK  

-------------------------Hết------------------------- Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

LIÊN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học : 2015 – 2016 Môn : TOÁN. ngày: 24/10/2015

(Chú ý: Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang). Bài 1: (4,5 điểm)

a) Tìm được ĐKXĐ (0,5 điểm) x 0;x 1;x 9    b) Với , ta có: x 0;x 1;x 9   

1 1 x 1 x 3 P : x 1 x x 3 x 1

          

       

 

       

. . 1

. .

x 1 x 1 x 3 x 3 x x : x x 1 x 3 x 1

       

  

(0,75 điểm)

(0,5 điểm)    

1 x 1 x 9 : x. x 1 x 3 . x 1   

  

(0,5 điểm)  

   x 3 . x 1 1 : 8 x. x 1

  



Vậy Với th× (0,25 điểm) x 0;x 1;x 9   

8

x 3 P x  

c) Với , ta có: x 0,x 1& x 9   

(0,50 điểm)   2 8 2 2 8 1 x 3 1 P x 3 x x       

(0,50 điểm) 5 x 3 4 x x 3    

(TMĐK) (0,50 điểm) 3 9 x x 5 25    

Vậy với thì (0,25 điểm) 9 x 25  1 P 2 

Bài 2: (4,5 điểm)

a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2 2x 5 

Điều kiện (0,25 điểm) 2 5 2x 5 0 x    

Ta có: x2 + 6x + 10 = 2 2 2x 5 (x 4x 4) (2x 5) 2 2x 5 1 0         

(1,25 điểm)  

2 2 (x 2) 2x 5 1 0      

(0,75 điểm) x 2 0 x 2 2x 5 1 0

   

    

b) Cho x, y là các số thoả mãn: (*)    2 2 x 9 x y 9 y 9     

Hãy tính giá trị của biểu thức:

2011 2011 A x y 1   

Từ      2 2 2 2 (*) x 9 x x 9 x y 9 y 9 x 9 x          

   2 2 9 y 9 y 9 x 9 x      

ThuVienDeThi.com

(1) (0,75 điểm) 2 2 y 9 y x 9 x      

Tương tự ta có: (2) (0,75 điểm) 2 2 x 9 x y 9 y      Lấy (1) cộng với (2) ta có : y = x  Suy ra 2011 2011 2011 2011 A x y 1 x x 1 1      Vậy A = 1 (0,75 điểm)

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Với a, b > 0 chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào?         

1 1 1 1 a b 4 a b Với a, b > 0 ta có: (a – b)2 0 a2 + b2 2ab ( a + b )2 4ab (0,75 điểm)     

(0,75 điểm)         4ab 1 a b a b a b a b 4ab

. Dấu “ = ” xảy ra a = b. (0,50 điểm)          

1 1 1 1 a b 4 a b 

b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:    1 1 1 8 x y z

Tìm giá trị lớn nhất của          1 1 1 M 2x y z x 2y z x y 2z

Vì x, y, z là các số dương, áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta có :

(1)                                   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2x y z x y x z 4 x y x z 16 x y x z 16 x y z (0,50 điểm)

(2)                                   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 x 2y z x y y z 4 x y y z 16 x y y z 16 x y z (0,50 điểm)

(3)                                   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x y 2z x z y z 4 x z y z 16 x z y z 16 x …