Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 môn Toán

MÃ KÝ HIỆU

[*****]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Lớp 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu 01 trang)

Câu 1. (2 điểm)

1.1. Rút gọn biểu thức sau : P =

6 2 3 2 2

6 2

6 2 3 2 2

2 3 2

  

    



x x

x

x x

x

1.2. Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn và . 2 2 1 a b  

4 4 1 a b c d c d   

Chứng minh rằng .

2

2 2 a d c b  

Câu 2. (2 điểm)

2.1. Cho phương trình (ẩn x): có hai nghiệm x1 ; x2 . 2 2( 2) 4 9 0 x m x m      Tìm m sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 1 2 1 2 8 A x x x x   

2.2. Giải hệ phương trình :

     

 I

3xy = 2 x+ y

5yz = 6 y+ z

4zx= 3 z+ x

    

Câu 3. (2 điểm) 3.1. Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. 3.2. Chứng minh rằng :

     2009

2007

2008 2007 4015

1

4 3 7

1

3 2 5

1

2 1 3

1         



Câu 4. (3 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

1. Chứng minh rằng AHEK là tứ giác nội tiếp và CAE đồng dạng với CHK. 2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh NFK cân.

3. Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK//MN và KM2 + KN2 = 4R2. Câu 5. (1 điểm) Sau một bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Hệ thống camera tự động đếm thấy có tất cả 66 cái bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người?

-------------------Hết-----------------

ThuVienDeThi.com

MÃ KÝ HIỆU

[*****]

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Lớp 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOAN Thời gian làm bài: 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm 04trang)

Chú ý:

- Thí sinh làm bài theo cách khác thì cho điểm vẫn cho điểm tối đa - Điểm bài thi 10 Câu Đáp án Điểm 1.1 (1điểm)

Có : A =    2 2 3 2 2

2 3 2

6 2 3 2 2

2 3 2

  

    



x

x

x x

x

A =    3 2 2

2 3 2

 



x x

Tương tự có:

B =    2 2 3

6 2 6 2 3 2 2

6 2

 

    



x

x x x

x

Từ đó Tập xác định là x 0  và 9  x

Ta có P = A+B =      2 2 3

6 2

3 2 2

2 3 2

 

   



x

x

x

x

=         2 2 3 3

3 6 2 3 2 3 2

  

    

x x

x x x x

=    2 2 9

18 2 3 6 2 2 9 2 3 6 2

 

      

x

x x x x x x

=       9 9 2 2 9

2 2 9

    

 

x x x x

Vậy P = 9 9   x x Với x 0  và x 9 

0,25

0,25

0,25

0,25

1.2 (1điểm)

1 (2 điểm)

và 2 2 1 a b  

4 4 4 4 2 2 2 1 ( ) a b a b a b c d c d c d c d         4 4 2 2 2 ( ) ( ) ( ) d c d a c c d b cd a b      

4 2 4 2 4 4 4 4 2 2 ( 2 ) dca d a c b cdb cd a b a b       

2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 d a c b cda b da cb       

hay . Do đó 2 2 0 da cb   

2 2 a b c d 

. Vậy

2 2 2 2

2 2 2 ( ) 2 2 0 a d b d b d c b d b db

       

2

2 2 a d c b  

0,25

0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

2.1 (1điểm)

2 2 ' ( 2) 4 9 5 m m m      

Phương trình có 2 nghiệm hoặc  ' 0 5 m    5 m  0,25

Theo hệ thức Vi-ét ta có : 1 2 1 2 2 4; 4 9 x x m x x m     

Ta có:

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 ( ) 10 A x x x x x x x x       0,25

2 2 2 (2 4) 10(4 9) 4 24 74 4( 3) 110 110 A m m m m m           

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi m = 3 > 5 0,25 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là khi m = 3. 110  Ghi chú: Nếu thí sinh không tìm được ĐK : m hoặc m 5  5  nhưng có thế m = 3 vào biểu thức = 4 > 0 thỏa mãn điều kiện có '  nghiệm thì vẫn không bị trừ điểm.

0,25

2.2 (1điểm)

2 (2 điểm)

+ Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0.

+ Với xyz 0 thì (I) được viết lại: (II) 

x y 3 xy 2 y z 5 yz 6 z x 4 zx 3

    

       



1 1 3 x y 2 1 1 5 y z 6 1 1 4 z x 3

          

   Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:

(*) 1 1 1 11 2 x y z 3         

1 1 1 11 x y z 6   

Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có : …