Đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 năm học 2008 2009 môn Toán

Sở Giáo dục đào tạo Kỳ thi HSG Thành phố lớp 9 Hà Nội Năm học 2008 – 2009

Môn : Toán Ngày thi : 27 – 3 – 2009 Thời gian làm bài : 150 phút.

Câu I ( 4 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a3 + 5a) là số nguyên chia hết cho 6.

2) Cho A = . Tìm số dư trong phép

2 3 10 10 10 10 10 2730 927309 27309 ... 27309     chia A cho 7.

Câu II ( 4 điểm)

1) Chứng minh với x>0 và y>0. Xảy ra đẳng thức khi nào? 1 1 4 x y x y    2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, biết

với a>0 , b>0 và a+b≤4. 2 2 2 35 2 P ab a b ab    

Câu III ( 4điểm)

Cho phương trình x + m -1 = m ( với x là ẩn số). 3 2 1 x 

1) Giải phương trình khi m=3. 2) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1.

Câu IV ( 4 điểm)

Cho đường tròn (O;3) và điểm A cố định ( A khác O). Chứng minh :

1) Nếu HK là đường kính của đường tròn (O;3) thì AH≥ 3 hoặc AK ≥ 3. 2) Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đường tròn (O;3) thoả mãn đồng thời hai điều kiện MA + NA + PA + QA >12 và MN + NP +PQ +QM <12.

Câu V ( 4 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm M tuỳ ý trên cung BC ( M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM ; K là giao điểm các đường thẳng BM và HI.

1) Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn.

2) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC ( M khác B) sao cho AK = . 10 2 R

ThuVienDeThi.com