Đề thi học sinh giỏi bậc THCS cấp thành phố năm học 2016 - 2017 môn Ttoán

G GGVVV::: N NNggguuuyyyễễễnnn D DDưưươơơnnnggg Hả Hả Hảiii ––– TTTH HHC CCSSS PPPhhhaaannn C CChhhuuu TTTrrriiinnnhhh ––– BBBM MMTTT ––– Đ ĐĐăăăkkk LLLăăăkkk (((SSSưưưuuu tttầầầm mm và và và gggiiiớớớiii ttthhhiiiệệệuuu))) tttrrraaannnggg 111

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP BUÔN MA THUỘT

--------- ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017

MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không tính giao đề)

Ngày thi: 24/02/2017 Bài 1: (4 điểm)

Cho biểu thức 3x 3 x 1 1 2x 5 x 5 P : x x 1 x x 1 x 1 x 1

                       

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi 18 x

4 7 

 .

c) Tính giá trị lớn nhất của P.

Bài 2: (5,5 điểm)

a) Chứng minh rằng với 3 2 B n 3n n 3 48     với n là số nguyên lẻ. b) Giải phương trình 2 ( x 5 x 2)(1 x 7x 10) 3       . c) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để 4 2k 1 n 4   là số nguyên tố (trong đó n 1 ).

Bài 3: (2,5 điểm)

a) Cho đường thẳng (d) có phương trình 2m(m + 1)x – y = –m và đường thẳng ' (d ) có phương trình 4(m – 2)x + y = 3m – 1, trong đó x, y là ẩn số, m là tham số, cho biết m 1 ,

m 0 , m 2  và 1 m 3  ). Hãy xác định các giá trị của m để (d) // (d’).

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 x y 6x 4y 13 0     .

Bài 4: (4,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định, thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Vẽ đường tròn (O;R) sao cho (O;R) luôn nhận BC làm dây cung (BC < 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AF và AE đến (O;R), (F nằm trong nửa mặt phẳng bờ là AO có chứa dây BC). Gọi I là trung điểm của dây BC, EF cắt BC tại N và cắt AO tại K. Chứng minh:

a) 2 AB.AC AF  . b) 5 điểm A, E, O, I, F cùng thuộc một đường tròn. c) Khi đường tròn (O;R) thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp KOI  luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn sao cho MA < MB (M khác A và B). Vẽ MC là tia phân giác của  AMB (C thuộc AB). Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AH và BD cắt nhau tại một điểm N nằm trên đường tròn (O). b) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của (O), gọi F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). Chứng minh các tứ giác ACHE và CBFD là hình vuông. c) Chứng minh bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng. d) Gọi 1 2 S ,S lần lượt là diện tích của các tú giác ACHE và BCDF. Chứng minh:

2

1 2 CM S S  .

ThuVienDeThi.com

G GGVVV::: N NNggguuuyyyễễễnnn D DDưưươơơnnnggg Hả Hả Hảiii ––– TTTH HHC CCSSS PPPhhhaaannn C CChhhuuu TTTrrriiinnnhhh ––– BBBM MMTTT ––– Đ ĐĐăăăkkk LLLăăăkkk (((SSSưưưuuu tttầầầm mm và và và gggiiiớớớiii ttthhhiiiệệệuuu))) tttrrraaannnggg 222

BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (4,0 điểm)

a) P có nghĩa khi

x 0, x x 1 0

x x 1 0

x 0, x 1 x 1 0

2x 5 x 5 0 x 1

  

        

      

      

  

2 3x 3 x 1 x x 1 3x 3 x 1 1 2x 5 x 5 2x 5 x 5 P : : x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1

x x 1 x 1 1 2x 5 x 5 2x 5 x 5 x 1 x x 1

                                   

            

b) Ta có:    

2 18 4 7 18 x 8 2 7 7 1 9 4 7

        (TMĐK).

Do đó

   

2 1 1 26 9 7 P 109 26 9 7 2 8 2 7 5 7 1 5

        

c) 2 1 1 8 P 15 2x 5 x 5 5 15 2 x 4 8

            

. Dấu “=” xảy ra khi 5 25 x 0 x 4 16     (TMĐK)

Vậy max P = 8 25 x 15 16  

Bài 2: (5,5 điểm)

a)           3 2 B n 3n n 3 n 1 n 1 n 3 2k 2k 2 2k 4 8k k 1 k 2               (n lẻ, n 2k 1  )

Vì    k k 1 k 2 6 B 48     

b) ĐK: x 2 . Đặt   a x 5, b x 2 a 0, b 0       . ta có:   

2 2 a b 3

a b 1 ab 3

       

          2 2

a b

a b a b 1 ab a b a b 1 ab 0 a b a 1 1 b 0 a 1

b 1

                       

+) a b x 5 x 2 0x 3        (vô nghiệm)

+) 2 a 1 b 2   (vô lí)

+) 2 b 1 a 4 a 2     (vì a 0 ). Ta có: x 5 2 x 1   …