Đề thi học sinh giỏi năm học 2013 - 2014 môn Toán 9

Phòng GIáO DụC-ĐàO TạO

tiền hải

đề thi học sinh giỏi NĂM HọC 2013-2014

Môn: toán 9

(Thời gian 120 phút làm bài)

Bài 1 ( 4 điểm ). a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình x2 - 3x +1 = y2. b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương . Bài 2 (4 điểm ). 1) Cho biểu thức :

A = 3 1 1 1 2 1 1 : . . 2 ( )

x y

x y xy xy x y xy x y x y

                             a) Rót gän biÓu thøc A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi và . 4 7 x   4 7 y  

2) Đa thức f(x) khi chia cho x – 5 được số dư là 14 và khi chia cho x + 1 được số dư là 2. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức x2 – 4x – 5. Bài 3 (4 điểm). Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + 7 = 0 (với m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn . 1 2 12 x x  

c)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức A = x12 + x22 + 5x1x2 có GTNN. Tìm GTNN đó . Bài 4 (6 điểm ) . Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kinh R . Vẽ các đường cao AD, BE, CF . Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) .

a) Chøng minh : AB. AC = AD. AK và SABC = . . . 4 AB BC CA

R b) Chứng minh OA vuông góc với EF. c) Vẽ đường tròn (I) đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường tròn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK. Chứng minh bốn điểm A, B, N, M cùng thuộc một đường tròn. Bài 5(2 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A . D là một điểm nằm trong tam giác sao cho CD = CA .

M là một điểm trên cạnh AB sao cho . N là giao điểm của MD và đường A A 1 2 BDM ACD 

cao AH của ABC . Chứng minh DM = DN.

---------------------------- Hết -----------------------------

Họ tên học sinh.............................................................SBD...............Phòng..........

đề chính thức

ThuVienDeThi.com