Quảng cáo

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán học

Nguồn: thuviendethi.com

Đọc sách

Báo tài liệu không phù hợp

Xem trước nội dung

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

PHÒNG GD&ĐT §Ò thi häc sinh giái líp 9

Môn: Toán Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (1,5 điểm):

Cho x,y,z là 3 số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và . Chứng minh 1 1 1 x y z  

rằng: x+y là số chính phương. Bài 2: (2,5điểm):

a/ Cho 3 số a,b,c thoả mãn điều kiện a2+b2+c2 =1 chứng minh rằng: a+b+c+ab+bc+ca 1+  3 b/ Cho biểu thức: A=x – 2 +3y -2 +1 xy x Tìm giá trị nhỏ nhất của A có thể đạt được. Bài 3: (2 điểm):

Giải hệ phương trình:

Bài 4: (2,5 điểm):

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn đường cao HE trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB vuông góc với AH. Hai trung tuyến AM và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O

a, Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác MKO

b, Chứng minh

3 3 3

2 4

IO IK IH IA IH IB

 

   Bài 5: (1,5 điểm):

Tìm nghiệm nguyên dương cảu phương trình:

2 2 1

x y  

2 3 2 x xy y    

2 2 6 y x  

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Hướng dẫn chấm Bài 1 (1,5 điểm)

Từ 2 2

1 1 1 1 ( )

( )( )

x y z x y xy x y z xy z

xy xz yz xy xy z z

x z y z z

       

       

    Nếu d là ước nguyên dương của x-z và y-z thì z2 d2  và y-z d nên x,y,z đều là bội của d z d do x z d      d=1 vì (x,y,z) =1  Vậy x-z và y-z đều là số chính phương. đắt x-z =k2 ; y-z = m2 với k,m N  z2= (x-z)(y-z) =K2m2 z=km   Do đó x+y = (x-z) +(y-z)+2z =k2 +m2+2km=(k+m)2 Vậy x=y là số chính phương.

Bài 2 (2,5 điểm) a, Ta có (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 0  nên ab+bc+ca a2+b2+c2 = 1 (1)  Do đó (a+b+c)2 = 2(ab+ba+ca)+(a2 +b2+c2) (a+b+c)2 =3  a+b+c (2)   3 Từ (1) và (2) a+b+c+ab+bc+ca 1+ (đpcm)   3 b, Điều kiện : x 0 và y 0   A= x-2 +y +2y =2 +1 xy x A= ( - )2 +1 -2( - ) -2 +2y x y x y y

A= ( - -1)2 - 2 +2y + - . x y y 1 2

1 2

A= ( - -1)2 + (2 -1)2 - x y 1 2 y 1 2

A vậy A đạt giá trị nhỏ nhất. Khi 2 -1 = 0 Và ( - -1)=0  1

2 y x y

Do đó Min A= - y= , x= 1 2  1 4

9 4

Bài 3 Giải hệ PT (2,0 điểm)

Từ (1) 2xy =4 +6 -2(x+y) Từ (2) (x+y)2 -2y = 6  2  (x+y+1)2 =(3+ )2 Do đó x+y+1 = 3+ hoặc x+y+1 =-3-  2 2 2 Hay x+y = 2+ xy =2 (3) 2  2 Hoặc (x+y) = -4 - xy = 6 +4 (4) 2  2 Từ (4) (x-y)2 = (x+y)2 – 4xy = (4+ )2- 4(6+4 ) = - 6-8 <0 vô lý  2 2 2

0,25 ®

0,25 ® 0,25 ®

0,25 ®

0,25®

0,25® 0,25® 0,25® 2 2 6 y x  

2 3 2 x xy y     (1) (2)

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Từ (3)

Vậy nghiệm của hệ là Và

Bài 4 (2,5 điểm)

a, MO // HA (Cùng vuông góc với BC) OK // BH (cùng vuông góc với AC)