Đề thi chọn học sinh giỏi Tp Quy Nhơn năm học 2008 2009 môn Toán 9

µ GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI........................................ Buøi Vaên Chi.....................................................................1

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN: TOÁN LỚP 9 - Ngày: 15/01/2009 – Thời gian: 150 phút

ĐỀ: Câu 1.(4 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

2 2 2 x y z 1 xy yz zx 1

 + + =  + + = 

b) Chứng minh: A = ( ) ( ) 2009 2009 2009 1 2 2009 1 2 2009 + + + + + + ⋯ ⋮ ⋯

Câu 2. (4 điểm) a) Tìm x, y, x ∈ P sao cho: xy – 1 = z. b) Tìm số nguyên dương a để 1 + a + a2 + a3 + a4 là số chính phương. Câu 3. (4 điểm) a) Tìm đa thức bậc ba f(x) sao cho f(x) – f(x – 1) = x2. b) Từ kết quả trên hãy tính biểu thức: P = 12 + 22 + …+ n2 Câu 4. (5 điểm) a) Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC. Đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn tại D, E. a) Chứng minh đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định. Tìm quỹ tích trung điểm M của DE. c) Tìm vị trí của đường thẳng d để BD + CE đạt giá trị lớn nhất. Câu 5. (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 600, AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tính góc AQP.

ThuVienDeThi.com

µ GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI........................................ Buøi Vaên Chi.....................................................................2

GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN: TOÁN LỚP 9 - Ngày: 15/01/2009 – Thời gian: 150 phút Câu 1 (4 đ)

a) Giải hệ phương trình:

2 2 2 x y z 1 xy yz zx 1

 + + =  + + = 

Trước hết, ta chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz (1) Biến đổi tương đương: (1) ⇔ 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + xz)

⇔ (x – y)2 + (y – z)2 + (x – z)2 ≥ 0 : bất đẳng thức đúng. Vậy bđt (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Do đó từ hệ phương trình, ta có x = y = z.

Khi đó, ta có 3x2 = 1 ⇔ x = ± 1

3

.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:

(x, y, z) = 1 1 1 1 1 1 ; ; , ; ; 3 3 3 3 3 3

   − − −      

b) Chứng minh: A = ( ) ( ) 2009 2009 2009 1 2 2009 1 2 2009 + + + + + + ⋯ ⋮ ⋯

Ta chứng minh mệnh đề tổng quát: B = ( ) 2k 1 2k 1 2k 1 1 2 n (1 2 n) + + + + + + + + + ⋯ ⋮ ⋯ , (n ∈ N*, k ∈ N)

Ta có: 1 + 2 + …+ n = n(n 1) 2

+

Biến đổi: 2B = [(12k+1 + n2k+1)] + [22k+1 +(n – 1)2k+1 ] + …+[(n – 1)2k+1 + 22k+1] + [n2k+1 + 12k+1] Vì tổng hai số hạng trong mỗi móc vuông đều chia hết cho (n + 1) nên 2B ⋮ (n + 1) Mặt khác, 2B có thể viết theo cách khác: 2B = [12k+1 + (n – 1)2k+1] + [22k+1 + (n – 2)2k+1] + … + [(n – 1)2k+1 + 12k+1] + 2n2k+1 Vì tổng hai số hạng trong mỗi móc vuông đều chia hết cho n, và 2n2k+1 chia hết cho n nên 2B ⋮ n. Vì (n, n + 1) = 1 nên 2B ⋮ n(n + 1).

Suy ra B ⋮ n(n 1) 2

+

Thay n = 2009 và k = 1004, ta có mệnh đề A. Vậy A = ( ) ( ) 2009 2009 2009 1 2 2009 1 2 2009 + + + + + + ⋯ ⋮ ⋯ .

Câu 2 (4đ) a) Tìm x, y, z ∈ P sao cho xy + 1 = z

Nếu z = 2 thì x = 1∉P: loại. Do đó z ≠ 2, suy ra z lẻ, khi đó x chẵn ⇒ x = 2

+) Xét y = 2, ta có z = 22 + 1 = 5 ∈ P

+) Xét y ≠ 2 ⇒ y lẻ , y = 2k + 1.

Ta có: xy + 1 = 22k+1 + 1 = 2.4k + 1 ≡ -1 + 1 ≡ 0 (mod 3) ⇒ z ⋮ 3 ⇒ z = 3 (z ∈ P)

ThuVienDeThi.com