Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 - Trường THCS Nguyễn Tri Phương

Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trường THCS Nguyễn Tri Phương Môn Toán 9 - Thời gian : 120 phút 

Câu 1/ (1đ) Cho x = .Chứng minh rằng x là một số 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27     

nguyên .

Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 .

Chứng minh rằng : .      xy 1 yt 1 xt 1 NÕu th× x= y= t hoÆc x.y.t =1 y t x

Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m . Chứng minh rằng đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) cũng có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + . n 2 

Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định đường thẳng đó .

Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , trong đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A . b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) .

c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = AK . Khi A di động trên đường 3 2 tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?

ThuVienDeThi.com

Đáp án và biểu điểm chấm Toán 9

Câu Nội dung Điểm Câu1

(1đ)

3 3

3 3

3 3 3

3 2

2

125 125 a 3 9 và b = 3 9 27 27 5 Thì a b 6 và a.b = 3 x a b x a b 3ab(a b)

x = 6 - 5x (x 1)(x x 6) 0

Mà x x 6 0(do........).Suy ra x 1.Vậy x Z

    

 

      

    

    

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

Câu 2

(1,5đ)

Từ đẳng thức với điều kiện do đề bài đã cho suy ra :

(1) 1 1 1 x y z y z x     

(2)

y z 1 1 x y

z y zy

1 1 z x (1) y z

x z xz

x y 1 1 z x

y x xy

                         

(2) (3)        y z z x x y x y y z z x

zyzxxy

      

Từ (3)      

x y z Học sinh chứng minh được rằng xyz 1

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

0,5 đ

Câu 3

(1,5đ)

Ta có : x = m là nghiệm của đa thức f(x)= ax2 + bx + c

  

    

  

2

2 2

2

Suy ra am bm c 0 (1), mà m > 0 (gt) b c 1 1 (1) a + 0 a + b( ) c( ) = 0 (2) m m m m 1 Đẳng thức này chứng tỏ rằng x= là nghiệm của m

1 đa thức g(x) = cx bx a 0 Vậy x= n = > 0 (do m > 0 ) (3) m

Ta cã 

 

1 1 m+n = m + 2 m. (do ..........) m m Hay m n 2

0,25 đ 0,25đ 0,25đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25

Câu 4 (2đ)

Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1 Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = 1 nên khoảng cách từ O đến d(2) là 1 (1)

0,25đ 0,25đ

ThuVienDeThi.com

Nếu m ≠1 và m≠ 2 thì d(m) cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại 1 ;0 m 1       

B Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có :       

1 0 ; m 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

lín nhÊt

1 1 1 (m 1) (m 2) OH OA OB

1 3 1 1 2m 6m 5 2 m OH 2 2 2

3 VËy OH 2 OH 2 OH 2 khi m (2) 2

     

            

     

Từ (1) và (2) và do 1 < suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) là 2 2

Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- 2 = 0

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Câu 5

Câu a (1,5đ)

Câu b (1,5đ)

G

K

D

M A

C

B

O E

Gọi G là trung điểm BC thì OG BC (đl) suy ra  GB = GC và GE = GD (đl)

và OG là đường trung bình ADE nên OG= AE hay AE = 2OG  1 2 Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 Suy ra EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có : OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2 Do đó EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2) = 2R2 +2r2 ( không đổi)

Trường hợp đặc biệt :

G

D

M

A

C

B

O

E

Thì chứng minh trên vẫn đúng G E D  

Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com