Đề số 30 Đề luyện thi hsg cấp tỉnh môn toán năm học2015 - 2016

Bộ đề bồi d-ỡng HSG Môn Toán –Trình Thị Thúy Ph-ợng-THCS Thị TrÊn 2- Yên Lập –Phú Thọ

1

ĐỀ SỐ 30: ĐỀ LUYỆN THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN

NĂM HỌC:2015-2016

Câu 1 (3,0 điểm)

a)Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn 2 k 4  và 2 k 16  là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.

b)Cho a, b, c là các số nguyên sao cho 2a + b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương, biết rằng trong ba số chính phương nói trên có một số chia hết cho 3. Chứng minh rằng: (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27. Câu 2 (4,0 điểm)

a)Cho a, b, c thoả mãn ( a + b – 2c )2 + ( b + c – 2a )2 + ( c + a – 2b )2 = ( a – b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 . Chứng minh rằng a = b = c .

b)Rút gọn biểu thức B = 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2( ) ( ) 2( )( ) ( ) x y z x y z x y z x y z x y z              Câu 3 (4,0 điểm)

a)Giải phương trình:     3 3 2 6 2 1 1 x x x x      .

b)Giaûi heä phöông trình :

2 2

3 3 2 3 4 (1)

12 6 +9 (2)

x y x

x x y x

        

Câu 4 (7,0 điểm)

1.Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.

a)Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng. b)Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.

2. Cho tam giác ABC và các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng:

3 4 (AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA

Câu 5 (2,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 1 abc .

Chứng minh rằng         

3 1 1 1 1 1 1 4 a b c a b b c c a         

------------------------------------ Hết --------------------------------------

Họ và tên thí sinh: .................................................................. SBD: ..........................

ThuVienDeThi.com

Bộ đề bồi d-ỡng HSG Môn Toán –Trình Thị Thúy Ph-ợng-THCS Thị TrÊn 2- Yên Lập –Phú Thọ

2

ĐÁP ÁN CẤP TỈNH MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2015-2016 I. Mét sè chó ý khi chÊm:

- H-ớng dẫn chấm d-ới đây chỉ dựa vào lời giải sơ l-ợc của một cách, khi chấm giám khảo cần bám sát yêu cầu của đề bài, lời giải chi tiết của học sinh đảm bảo lôgic đúng kiến thức bộ môn. - Thí sinh làm bài cách khác với H-ớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm t-ơng ứng với biểu điểm của H-ớng dẫn chấm - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0,25 điểm. II. Đáp án và biểu điểm: Câu 1 (3,0 điểm)

a)Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn 2 k 4  và 2 k 16  là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.

Giải a) V× k > 1 suy ra 2 2 k 4 5; k 16 5     - XÐt 2 2 2 k 5n 1 (víi n ) k 25n 10n 1 k 4 5        

2 k 4   không là số nguyên tố.

- XÐt 2 2 2 k 5n 2 (víi n ) k 25n 20n 4 k 16 5         

2 k 16   không là số nguyên tố.

- XÐt 2 2 2 k 5n 3 (víi n ) k 25n 30n 9 k 16 5         

2 k 16   không là số nguyên tố.

- XÐt 2 2 2 k 5n 4 (víi n ) k 25n 40n 16 k 4 5         

2 k 4   không là số nguyên tố. Do vậy k 5 b)Cho a, b, c là các số nguyên sao cho 2a + b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương, biết rằng trong ba số chính phương nói trên có một số chia hết cho 3. Chứng minh rằng: (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27.

Giải Vì 2a + b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương nên ta có thể đặt 2a + b = m2; 2b + c = n2; 2c + a = p2 với m, n, p là các số tự nhiên. Vì trong các số m2; n2; p2 có một số chia hết cho 3 nên không mất tính tổng quát có thể giả sử m2 chia hết cho 3 (1). Ta lại có m2 + n2 + p2 = 3a + 3b + 3c chia hết cho 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra n2 + p2 chia hết cho 3. Dễ thấy n và p đều chia hết cho 3. Do đó 2a + b; 2b + c; 2c + a đều chia hết cho 3. Từ đó suy ra a, b, c đều chia hết cho 3. Vậy (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27. Câu 2 (4,0 điểm)

a)Cho a, b, c thoaû maõn ( a + b – 2c )2 + ( b + c – 2a )2 + ( c + a – 2b )2 =

ThuVienDeThi.com