Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2015 - 2016 môn thi Toán lớp 9

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016

Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016

Môn thi: TOÁN

Họ và tên:…………………..

SỐ BÁO DANH:……………

LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang

Câu 1 (2.0 điểm)

Cho biểu thức: với .

2 2 2( 1) 1 1 x x x x x P x x x x          0 1 x  

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. x

Câu 2 (3.0 điểm)

a. Cho phương trình: (tham số m). Tìm m để phương trình có 2 2 2 2 2 0 x mx m    

hai nghiệm thỏa mãn . 1 2 x , x 1 2 1 2 | 2 4 | 6 x x x x    

b. Giải hệ phương trình: 

3 2 3 2

2 2 2 2 4 6 11 x x y x y xy y x x y x           

Câu 3 (2.5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), cắt AI

(O) tại (khác A), là điểm đối xứng với qua . Gọi là điểm chính giữa của M J I M N

cung , và lần lượt cắt (O) tại và . AABM NI NJ E F

a. Chứng minh . Từ đó suy ra và là các tam giác vuông. MI MB  BIJ CIJ

b. Chứng minh cùng nằm trên một đường tròn. , , , I J E F

Câu 4 (1.5 điểm)

Cho thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:  , 0 a b 2 a b  

    2 2 1 1 M a b b a

Câu 5 (1.0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương và thỏa mãn điều kiện: m n    2 2 2 1 3 5 n n m m m m      

-------------------hÕt-------------------

ThuVienDeThi.com

1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016

Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016

Môn thi: TOÁN

LỚP 9 Đáp án này gồm có 04 trang

YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu

phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những

bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho

điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành

phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm

của từng bài.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm

Cho biểu thức: với .

2 2 2( 1) 1 1 x x x x x P x x x x          0 1 x  

a. Rút gọn biểu thức P.

1,0

Với ta có: 0 1 x  

2 ( 1)( 1) ( 1) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x             

0,25

2 (2 1) 2 1 x x x x x x x      0,25

2( 1) 2( 1)( 1) 2( 1) 1 1 x x x x x x         0,25

( ) (2 1) 2( 1) 1 P x x x x x x          Kết luận: 1, 0 1 P x x x      0,25

b. Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. x 1,0 Với ta có: 0 1 x  

2 1 3 3 1 ( ) 2 4 4 P x x x        0,50

1

Dấu ‘=’ xãy ra khi và chỉ khi 1 1 0 2 4 x x    

Kết luận: P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1. 4 x 

0,50

ThuVienDeThi.com

2

a. Cho phương trình: (tham số m). Tìm m để 2 2 2 2 2 0 x mx m    

phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 1 2 x , x 1 2 1 2 | 2 4 | 6 x x x x     1,50

Ta có: ∆’ 2 2 2 2( 2) 4 m m m      0,25 Phương trình có hai nghiệm ∆’ 1 2 x , x  2 0 4 0 m     2 2 m   0,25

Theo định lý Viet ta có:

2

1 2 1 2

2 ; . 2 m x x m x x    

Theo bài ra:

2

1 2 1 2

2 | 2 4 | 6 2. 4 6 2 m x x x x m         

0,25

2 2

2 6 6 | 6 | 6 6 6 m m m m m m              0,25

                   

2

2

4 (loại) hoặc 3 (loại) 12 0

0 hoÆc 1 0

0 hoÆc 1

m m m m

m m m m

m m Kết luận: 0 ; 1 m m  

0,50

b. Giải hệ phương trình: 

3 2 3 2

2 2 2 2 4 6 11 x x y x y xy y x x y x            1,50

ĐKXĐ:  2 0 2 4 4 0 x x x       



3 2 3 2

2 2 2 (1) 2 4 6 11 (2) x x y x y xy y x x y x           

0,25

Từ (1) ta có:

3 2 3 2

3 2 3 2

3 3

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) 0 ( )[( ) 2 1] 0 ( )( 1) 0 0 ( 1 0 , )

x x y x y xy y x x y x y xy y x y xy x y x y x y x xy y xy x y x xy y x y do x xy y x y x y

           …