Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 - Đề 5

ĐỀ 5 Bài 1: ( 4đ ) Cho biểu thức

P = và Q = ( với > 0, ≠ 1 ) x x x x x x

x

  



2

1 : 1 15 7 2 4  x x x x

a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị nào của thì Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất? x Bài 2: ( 4đ ) Cho ba số dương a , b , c . Chứng minh rằng

≥ 3( ) c b a

1 1 1   a c c b b a 2 1 2 1 2 1

     Bài 3: ( 4đ ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 0 4 10 2 2 3 2 2       y x xy y x Bài 4: ( 6đ) Trên đường tròn tâm (o), bán kính R lấy hai điểm A và B tùy ý. Giả sử C là một điểm nằm phía trong AB ( C ≠ A, C ≠ B ). Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm (o). Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H cắt đường tròn tâm (o) tại M và N. Đường thẳng đi qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G

a) Chứng minh rằng: BDHC và AMEG cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh rằng: AM = AC . AB 2

c) Chứng minh rằng: AE . AB + DE . DM = 4R 2

Bài 5 ( 2đ) Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện CosA + CosB + CosC = CosA CosC CosC CosB CosB CosA . . .   Chứng minh rằng tam giác ABC đều

................... Hết ......................

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN TOÁN HỌC

NĂM HỌC: 2015 - 2016

Câu Đáp án Điểm 1/a

1

)1 )( 1 (

)1 )( 1 ( . )1 (

1

 

  

    

 

x

x x

x x x x x x x

x P 1đ

0,5đ 0,5đ

1/b Q – 4P = 4     x x x 4 15 7 2 4

= ( 1 ) 4 4 ( ) 16 8 2 2 4       x x x x = ( ≥ -1 Với mọi 1 ) 2 ( ) 4 2 2     x x x

Dấu đẳng thức xảy ra khi {

0 2

0 4 2

 

  x x

 2  x Vậy Min Q - 4P = -1 khi 2  x

0,5 0,25 0,25

0,5

0,5

2 Với > 0 ta có z y x , ,

≥ , ≥ 3. z y x   3 xyz z y x

1 1 1  

3

1

xyz

( ≥ 9 ) 1 1 1 )( z y x z y x    

 ≥ * z y x

1 1 1   z y x  

9

Áp dụng * ta có:

≥ , ≥ , ≥ b b a

1 1 1   b a 2 9  c c b

1 1 1   c b 2 9  a a c

1 1 1   a c 2 9  Cộng vế ta được:

3( ≥ 9( ) 1 1 1

c b a   ) 2 1 2 1 2 1

a c c b b a     

 ≥ 3( c b a

1 1 1   ) 2 1 2 1 2 1

a c c b b a      Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c

0,5

0,5

0,5

1

0,5

0,5 0,5 3 Biến đổi phương trình  [ ] – ( 2 2 )1 ( )1 ( 2     y y x x 0 7 ) 4 8 4 2    y y  0 7 ) 2 2 ( )1 ( 2 2       y y x  7 ) 3 )( 1 3 (      x y x y Do đó: và là ước của 7 1 3  x y 3  x y Vậy : ( 7; -3 ), ( 1; -3 ) , ( 3; 1 ) , ( -3 ; 1 ) ) , ( y x

1 1 1 0,5 0,5

4/a Vẽ hình Tứ giác BDHC và tứ giác AMEG là tứ giác nội tiếp Vì có tổng hai góc đối bằng 180 0 1

ThuVienDeThi.com

4/b

4/c

∆AHC đồng dạng ∆ABD ( g. g )

=> AD AC AB AH 

Nên AH. AD = AB. AC Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuôngMAD Ta có: MA = AH. AD 2

AM = AB. AC 2

∆AGE đồng dạng ∆ABD ( g. g ) AE. AB = AG. AD ∆DGE đồng dạng ∆DMA ( g. g ) DE. DM = DG. DA Vậy AE. AB + DE. DM = AD(AG + GD) = AD = 4R 2 2

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

5 Đặt CosA = , CosB = y, Cos C = z ( ta có ; y ; z > 0 ) x x + y + z = x zx yz xy    0 ) ( ) ( ) ( 2 2       x z z y y x ( = 0 2) y x  ( = 0 2) z y  ( = 0 2) x z  => z y x   Hay CosA = CosB = Cosc

A = B = C Vậy ∆ABC đều

0,25 0,25 0,25

0,5

0,25

0,25 0,25

Ban giám hiệu

PHT. Vũ Thị Hồng Thắm

Người duyệt đề

Trịnh Văn Đông

Người ra đề / đáp án

Đàm Trọng Tuấn

N

H

E

G

D

A

O

M

B C

•

ThuVienDeThi.com