Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 - Đề 4

Đề 4: Câu 1: (6,0 điểm)

1.a) Rút gọn biểu thức A = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x         

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

Hãy tính giá trị biểu thức:

A =

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y z z x x y x y z x y z            2.Cho n là số nguyên dương và n lẻ. CMR:

  1947 13 . 296 46  n n  Câu 2: (4 điểm)

Giải phương trình

3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x

2 2          b ) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn:

a b c + + = 0 b - c c - a a - b

Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c + + = 0 (b - c) (c - a) (a - b)

Câu 3: (3 điểm)

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

2x6 + y2 –2 x3y = 320

b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn . 1 1 1 6 x y y z z x      

Chứng minh rằng: . 1 1 1 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 x y z x y z x y z          Câu 4: (6 điểm)

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 0

----------------Hết----------------

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn: Toán Năm học: 2015-2016

Câu Đáp án Điểm Câu 1 ( 6 đ) 1.( 4đ)

a) (2đ)

1.a) Rút gọn biểu thức A = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x         

ĐKXĐ: x 0; x  4; x  9 

  

2 9 3 2 1 2 3 2 3

x x x A

x x x x

         

=   

2 9 9 2 3 2

2 3

x x x x

x x

    

 

  

2

2 3

x x

x x

  

 

=     

1 2

2 3

x x

x x

 

 

1 3 x x

 



0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,25đ

b) ( 2đ)

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

Hãy tính:

A =

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y z z x x y x y z x y z            Từ: xy + yz + xz = 1

 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z)

= (x + z)(x + y)

Tương tự: 1 + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z .(x +y) = ( x+ y).(y+z)

1 + z2 = xy + yz + xz + z2 =x .( y + z)+ z. (y + z) = ( y +z). ( x +z)

    

    

     2

2 2

2

2 2

2

2 2

1

1 . 1 . 1

1 1 . 1

1 1 . z

y x z y

x z y x

z y x A 

   

   

  

       

                z x z y

z y y x y x z x z

z y y x

y x z x z x z y y y x z x

z x z y z y y x x

 

    

 

      

    

.

. .

     

2 2 2 . . . y x z z x y z y x       =       2 . . .              yz xz yz xy xz xy y x z z x y z y x

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

ThuVienDeThi.com