Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2016 2017 môn thi Toán 9

G GGVVV::: N NNggguuuyyyễễễnnn D DDưưươơơnnnggg Hả Hả Hảiii ––– TTTH HHC CCSSS PPPhhhaaannn C CChhhuuu TTTrrriiinnnhhh ––– BBBM MMTTT ––– Đ ĐĐăăăkkk LLLăăăkkk (((SSSưưưuuu tttầầầm mm và và và gggiiiớớớiii ttthhhiiiệệệuuu))) tttrrraaannnggg 111

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐĂK LĂK

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI: TOÁN 9 – THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 05/4/2017 Bài 1: (4 điểm)

1) Cho số thực a, mà a > 2. Rút gọn biểu thức:     a 1 a 1 1 a 1 a 1 1 1 A a a 2 a 1 a 2 a 1

                  

2) Giải hệ phương trình sau:

2 3 3 1

16 3 5

       

x x y y

y x

Bài 2 : (4 điểm) 1) Tìm m để phương trình   2 2 1 3 1 0     x m x m có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn 2 2 1 2 5   x x 2) Cho số thực b thỏa mãn điều kiện đa thức 

2 2017    P x x bx có giá trị nhỏ nhất là một

số thực dương. Chứng minh cả hai phương trình 2 4 12 10 0    x x b và 2 4 12 10 0    x x b đều có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn phương trình 2 1 2   x y 2) Với mỗi số tự nhiên n , ta đặt 

2 4 2 4 1 2 2    n n n M n . Chứng minh rằng số  2 8  M n luôn chia hết cho 31. Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O. Dây AB cố định không phải đường kính. Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E sao cho góc CIA và EIB là các góc nhọn. CI cắt đường tròn (O) tại điểm D khác C. EI cắt đường tròn (O) tại điểm F khác E. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và D cắt nhau tại M; các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F cắt nhau tại N. Nối OM cắt CD tại P và ON cắt EF tại Q. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác PQNM nội tiếp. 2) MN song song với AB. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại C, có góc ở đỉnh là 360. Chứng minh

AC 1 5 AB 2   .

Bài 6: (2 điểm) Cho hai số thực a, b thay đổi sao cho 1 a 2;1 b 2    . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức 2 2 2 2 4 2 4 2                 A a b b a a b b a

ThuVienDeThi.com

G GGVVV::: N NNggguuuyyyễễễnnn D DDưưươơơnnnggg Hả Hả Hảiii ––– TTTH HHC CCSSS PPPhhhaaannn C CChhhuuu TTTrrriiinnnhhh ––– BBBM MMTTT ––– Đ ĐĐăăăkkk LLLăăăkkk (((SSSưưưuuu tttầầầm mm và và và gggiiiớớớiii ttthhhiiiệệệuuu))) tttrrraaannnggg 222

BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm)

1)      

 

 

 

3 3

2 2 a 1 1 a 1 1 a 1 a 1 1 a 1 a 1 1 1 1 A a a a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 1 a 1 1

                                     

    

   

a 1 1 a 1 a 1 1 a 1 1 a 1 a 1 1 1 a a 1 1 a 1 1

1 a a 1 a a 1 2 do a 2 a 1 0, a 1 1 0 a

                  

          

2) 

2 3 3 1

* 16 3 5

       

x x y y

y x

(ĐK: x 0, y 0  )

Ta có 

  





x 1 0

1 16 3 y 5 x 1 x 3 y 1 0 x * 16 x 3 y 1 0 3 y 5 x 2 16 3 y 5 x

                             

Giải 

x 1 x 1 1 121 y 3 y 11 9

              

(TMĐK)

Giải    

x 3 y 1 x 3 y 1 x 3 y 1 x 3 y 1 2 16 3 y 5 y 1 3 y 7 0 3y 4 y 7 0 y 1 0 3 y 1

                                        

x 2

y 1

    

(TMĐK) (3 y 7 0   vì y 0 )

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

x 1

121 y 9

  

và x 2

y 1

    

Bài 2 : (4 điểm) 1) Ta có:       2 2 2 1 4 3 1 4 1 1 0        m m m với mọi m. Nên phương trình luôn có hai

nghiệm phân biệt với mọi m. Theo Vi ét, ta có:   1 2

1 2

2 1

3 1

       

x x m

x x m

Khi đó  

2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 2 5       x x x x x x

       2 2

1 2 1 2 3 1 5 2 1 0 1 2 1 0 1 2

                 

m m m m m m m

m

2) 

2 2 2 2 2017 2017 2017 2 4 4               

b b b P x x bx x . Do đó 

2 2017 4  b Min P x .

ThuVienDeThi.com